Exercício 2. Resolva as seguintes operações básicas no conjunto dos números reais.
0 \cdot 999^{999^{999}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a operação no conjunto dos números reais:
0 \cdot 999^{999^{999}}
Informações dadas:
  • Há um produto entre 0 e a potência iterada 999^{999^{999}}.
  • A expressão 999^{999^{999}} é uma potência com expoente muito grande (mas bem definida como número inteiro positivo).
    O que se quer: o valor numérico desse produto em \mathbb{R}.

Passo 2

Entendendo a potência: a notação 999^{999^{999}} é interpretada como
999^{\left(999^{999}\right)},
ou seja, primeiro calcula-se 999^{999} (um inteiro gigantesco) e esse resultado é o expoente aplicado à base 999. Portanto 999^{999^{999}} é um número real e, mais especificamente, um inteiro positivo (muito grande). Não precisamos calcular esse valor para a questão — basta saber que é um número real bem definido, chamemos-no de y:
y = 999^{999^{999}},\qquad y\in\mathbb{R},\\ y>0.

Passo 3

Propriedade fundamental que vamos usar: qualquer número real multiplicado por 0 resulta em 0. Em símbolos:
\forall x\in\mathbb{R},\quad 0\cdot x = 0.
Vou mostrar um pequeno argumento (prova) por que isso é verdade, usando propriedades básicas dos números reais (distributividade e existência de oposto aditivo):
  • Sabendo que 0 = 0 + 0, multiplica-se ambos os lados por um x\in\mathbb{R}: 0\cdot x = (0+0)\cdot x.
  • Pela distributividade: (0+0)\cdot x = 0\cdot x + 0\cdot x.Assim 0\cdot x = 0\cdot x + 0\cdot x.
  • Subtraindo (ou somando o oposto) 0\cdot x de ambos os lados obtém-se 0 = 0\cdot x.
Portanto, a propriedade está provada: multiplicar por zero dá zero.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso caso: tomamos x = 999^{999^{999}} (que já chamamos de y e que é um número real). Pela propriedade do passo anterior:
0\cdot 999^{999^{999}} = 0.
Não importa quão grande ou complicada seja a potência no segundo fator — enquanto for um número real, o produto com 0 é 0.

Passo 5

Comentário adicional (para ficar tranquilo na prova): sempre que vir um fator 0 num produto com quaisquer números reais bem definidos, você pode imediatamente concluir que o produto vale 0 — não é necessário calcular os outros fatores. Só tome cuidado se houver expressões indefinidas (por exemplo 0\cdot\infty em limites) — aí a situação pode ser diferente; mas em operações algébricas normais com números reais, é seguro.

Resposta

0

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