Exercício 2. Resolva as seguintes operações básicas no conjunto dos números reais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a operação no conjunto dos números reais:
Informações dadas:
- Há um produto entre
e a potência iterada . - A expressão
é uma potência com expoente muito grande (mas bem definida como número inteiro positivo).
O que se quer: o valor numérico desse produto em.
Passo 2
Entendendo a potência: a notação
é interpretada como
ou seja, primeiro calcula-se
(um inteiro gigantesco) e esse resultado é o expoente aplicado à base
. Portanto
é um número real e, mais especificamente, um inteiro positivo (muito grande). Não precisamos calcular esse valor para a questão — basta saber que é um número real bem definido, chamemos-no de
:
Passo 3
Propriedade fundamental que vamos usar: qualquer número real multiplicado por
resulta em
. Em símbolos:
Vou mostrar um pequeno argumento (prova) por que isso é verdade, usando propriedades básicas dos números reais (distributividade e existência de oposto aditivo):
- Sabendo que
, multiplica-se ambos os lados por um : - Pela distributividade:
Assim - Subtraindo (ou somando o oposto)
de ambos os lados obtém-se
Portanto, a propriedade está provada: multiplicar por zero dá zero.
Passo 4
Aplicando a propriedade ao nosso caso: tomamos
(que já chamamos de
e que é um número real). Pela propriedade do passo anterior:
Não importa quão grande ou complicada seja a potência no segundo fator — enquanto for um número real, o produto com
é
.
Passo 5
Comentário adicional (para ficar tranquilo na prova): sempre que vir um fator
num produto com quaisquer números reais bem definidos, você pode imediatamente concluir que o produto vale
— não é necessário calcular os outros fatores. Só tome cuidado se houver expressões indefinidas (por exemplo
em limites) — aí a situação pode ser diferente; mas em operações algébricas normais com números reais, é seguro.