Exercício 4. Utilize produtos notáveis para calcular mentalmente 49 \cdot 51. Justifique sua estratégia e explique o raciocínio utilizado.

Passo 1

O enunciado pede para calcular mentalmente 49\cdot51 e justificar a estratégia e o raciocínio usados.
Informações dadas:
  • Os dois fatores são 49 e 51.
  • Precisa-se do produto e da justificativa da técnica usada para calcular sem calculadora.

Passo 2

Escolha da estratégia (explicação do porquê): os números 49 e 51 estão simetricamente dispostos em torno de 50 (ou seja, um é 50-1 e o outro é 50+1). Quando os fatores têm essa forma, fica muito conveniente usar a identidade algébrica
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
Aqui explico o que cada símbolo significa:
  • a representa o ponto central entre os dois números (no nosso caso a=50);
  • b representa a distância do centro até cada número (no nosso caso b=1);
  • a identidade diz que multiplicar o número central menos b pelo central mais b é igual ao quadrado do central menos o quadrado da distância.

Passo 3

Aplicando a identidade ao nosso caso: tomar a=50 e b=1. Então
(50-1)(50+1)=50^{2}-1^{2}.
Agora calculamos cada termo separadamente:
  • 50^{2} é 50 vezes 50. Mentalmente: 5\cdot5=25 e acrescendo duas casas de zero dá 2500. Logo 50^{2}=2500.
  • 1^{2}=1.
Subtraindo:
2500-1=2499.

Passo 4

Verificação alternativa (outro jeito mental): usar distributiva em 49\cdot51=49\cdot(50+1)=49\cdot50+49.
  • 49\cdot50 é 49\cdot5 com uma casa decimal zero a mais: 49\cdot5=245, logo 49\cdot50=2450.
  • Somando 2450+49=2499.
    Isso confirma o resultado anterior.

Passo 5

Regra geral e dicas mentais:
  • Se os números forem a-d e a+d, então o produto é a^{2}-d^{2}. Em palavras: eleve ao quadrado o número central e subtraia o quadrado da diferença.
  • Exemplo rápido para fixar: 98\cdot102 tem a=100 e d=2, então o produto é 100^{2}-2^{2}=10000-4=9996.
  • Dica prática: procure sempre por um “centro redondo” ( 10,50,100, etc.) entre os fatores; isso facilita muito o cálculo mental.

Passo 6

Força aí — essa técnica é rápida e poderosa numa prova. Sempre que vir dois números próximos e simétricos em torno de um valor redondo, lembra da identidade e faz o cálculo mental num piscar de olhos.

Resposta

2499

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