Exercício 3. Considerando n_{1}, n_{2}, n_{3} \in \mathbb{Z}_{>0}. Calcule:
\left(\left(n_{2}^{4}\right)^{2}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \left(\left(n_{2}^{4}\right)^{2}\right)^{3}, sabendo que n_{1}, n_{2}, n_{3}\in\mathbb{Z}_{>0}.
Informações relevantes dadas:
  • A variável que aparece na expressão é \,n_{2}\, (um inteiro positivo).
  • A expressão tem potências aninhadas: primeiro \,n_{2}^{4}\,), depois essa potência ao quadrado, e por fim essa última ao cubo. A tarefa é simplificar essa expressão para uma forma mais simples (uma única potência de \(\,n_{2}\,).)

Passo 2

Regra de potências que vamos usar (explicar bem): para qualquer base a e inteiros b,c vale
\left(a^{b}\right)^{c}=a^{b\cdot c}.
Por que isso é verdade? Escrevendo a definição de potência como multiplicação repetida:
a^{b}=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{b\\ \text{vezes}}.
Agora \left(a^{b}\right)^{c} significa multiplicar c cópias de a^{b}:
\left(a^{b}\right)^{c}=\underbrace{(a^{b})\cdot(a^{b})\cdot\ldots\cdot(a^{b})}_{c\\ \text{vezes}}.
Cada cópia contém b fatores a, e como há c cópias, no total há b\cdot c fatores a. Logo o produto é a^{b\cdot c}.
Observação útil: para potências aninhadas com três níveis temos
\left(\left(a^{b}\right)^{c}\right)^{d}=a^{b\cdot c\cdot d}.

Passo 3

Aplicando a regra ao primeiro par de potências internas:
\left(n_{2}^{4}\right)^{2}=n_{2}^{4\cdot 2}=n_{2}^{8}.
Explicação alternativa (mais explícita): \left(n_{2}^{4}\right)^{2}=n_{2}^{4}\cdot n_{2}^{4}=n_{2}^{4+4}=n_{2}^{8}.

Passo 4

Agora elevamos o resultado ao cubo:
\left(n_{2}^{8}\right)^{3}=n_{2}^{8\cdot 3}=n_{2}^{24}.
Também se pode fazer tudo de uma vez com a observação do Passo 2: os expoentes multiplicam-se, então 4\cdot 2\cdot 3=24, logo \left(\left(n_{2}^{4}\right)^{2}\right)^{3}=n_{2}^{24}.

Passo 5

Verificação numérica rápida para ganhar confiança: escolha \,n_{2}=2. Então
\left(\left(2^{4}\right)^{2}\right)^{3}=(16^{2})^{3}=256^{3}=16777216,
e
2^{24}=16777216,
confirma que a forma n_{2}^{24} é correta para esse caso, o que dá confiança na generalidade do resultado.

Resposta

n_{2}^{24}

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