- Exercício 5: Considere as afirmações abaixo. Classifique cada uma como verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se
e
são dois processos gaussianos, então
é gaussiano.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, dadas duas processos gaussianos
e
, a soma
é também um processo gaussiano. O conteúdo envolve a definição de processo gaussiano e a noção de combinação linear de variáveis normais.
Passo 2
Lembrando a definição:
é um processo gaussiano se, para quaisquer instantes
, o vetor
é multivariado normal. O mesmo vale para . Para
ser gaussiano, precisamos que, para todo conjunto de tempos,
seja multivariado normal.
é multivariado normal. O mesmo vale para
seja multivariado normal.
Passo 3
Note que
é uma combinação linear de todas as coordenadas de
.
Para que qualquer combinação linear de um vetor aleatório seja normal, o vetor completo deve ser conjuntamente (ou seja, “juntamente”) normal. Porém, saber que é gaussiano e que
é gaussiano separadamente não garante que o vetor conjunto
seja multivariado normal.
Para que qualquer combinação linear de um vetor aleatório seja normal, o vetor completo deve ser conjuntamente (ou seja, “juntamente”) normal. Porém, saber que
Passo 4
Contraexemplo concreto: seja
e
uma v.a. de Rademacher (valores
com probabilidade
) independente de
. Defina para todo
:
Cada processo isolado é gaussiano (todas as coordenadas são iguais a
ou a
, ambas marginais normais). Mas o par
não é bivariado normal (é mistura em duas retas distintas). Logo
é uma mistura de um ponto de massa em 0 e uma normal
, não sendo normal. Assim
falha em ser processo gaussiano.
Resposta
Falsa.