• Exercício 5: Considere as afirmações abaixo. Classifique cada uma como verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
    Se {X(t)} e {Y(t)} são dois processos gaussianos, então {X(t)+Y(t)} é gaussiano.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas duas processos gaussianos X(t) e Y(t), a soma
Z(t) = X(t) + Y(t)
é também um processo gaussiano. O conteúdo envolve a definição de processo gaussiano e a noção de combinação linear de variáveis normais.

Passo 2

Lembrando a definição: X(t) é um processo gaussiano se, para quaisquer instantes t_1,\dots,t_n, o vetor \bigl(X(t_1),\dots,X(t_n)\bigr)
é multivariado normal. O mesmo vale para Y(t). Para Z(t) ser gaussiano, precisamos que, para todo conjunto de tempos, \bigl(Z(t_1),\dots,Z(t_n)\bigr)
seja multivariado normal.

Passo 3

Note que
\bigl(Z(t_1),\dots,Z(t_n)\bigr) = \bigl(X(t_1)+Y(t_1),\dots,X(t_n)+Y(t_n)\bigr)
é uma combinação linear de todas as coordenadas de \bigl(X(t_1),\dots,X(t_n),Y(t_1),\dots,Y(t_n)\bigr).
Para que qualquer combinação linear de um vetor aleatório seja normal, o vetor completo deve ser conjuntamente (ou seja, “juntamente”) normal. Porém, saber que X é gaussiano e que Y é gaussiano separadamente não garante que o vetor conjunto \bigl(X,Y\bigr) seja multivariado normal.

Passo 4

Contraexemplo concreto: seja \,W\sim N(0,1) e \epsilon uma v.a. de Rademacher (valores \pm1 com probabilidade 1/2) independente de W. Defina para todo t:
X(t)=W,\quad Y(t)=\epsilon\,W.
Cada processo isolado é gaussiano (todas as coordenadas são iguais a W ou a \epsilon W, ambas marginais normais). Mas o par \bigl(X(1),Y(1)\bigr)=(W,\epsilon W) não é bivariado normal (é mistura em duas retas distintas). Logo
Z(1)=W+\epsilon W=(1+\epsilon)W
é uma mistura de um ponto de massa em 0 e uma normal N(0,4), não sendo normal. Assim Z(t) falha em ser processo gaussiano.

Resposta

Falsa.

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