- Exercício 3: Seja o processo estocástico
gaussiano, estacionário e com média nula. Seja o processo
definido por
. Mostre que
para todo
. O processo
é gaussiano?
Passo 1
O enunciado dá um processo
gaussiano, estacionário de média nula e define
. Precisamos calcular a autocovariância
e verificar se
é um processo gaussiano.
Passo 2
Pela definição de autocovariância e estacionariedade,
Como
e
tem média zero, temos
onde
.
Passo 3
Precisamos de
.
Para variáveis gaussianas de média zero vale o teorema de Isserlis (ou Wick), que diz:
Para variáveis gaussianas de média zero vale o teorema de Isserlis (ou Wick), que diz:
Ora
e
. Logo,
Passo 4
Substituindo em
,
Assim mostramos que
Passo 5
Para que
fosse gaussiano, qualquer vetor
teria de ser multivariado normal. Mas
é uma transformação quadrática de
e suas distribuições marginais são
com 1 grau de liberdade, não normais. Portanto
Resposta
O processo