• Exercício 3: Seja o processo estocástico \{X(t)\}_{t \in \mathbb{R}} gaussiano, estacionário e com média nula. Seja o processo \{Z(t)\}_{t \in \mathbb{R}} definido por Z(t)=X^{2}(t). Mostre que C_{Z}(\tau)=2 C_{X}^{2}(\tau) para todo \tau \in \mathbb{R}. O processo \{Z(t)\} é gaussiano?

Passo 1

O enunciado dá um processo \{X(t)\} gaussiano, estacionário de média nula e define Z(t)=X^2(t). Precisamos calcular a autocovariância
C_Z(\tau)=\mathrm{Cov}[Z(t),Z(t+\tau)]
e verificar se \{Z(t)\} é um processo gaussiano.

Passo 2

Pela definição de autocovariância e estacionariedade,
C_Z(\tau) =\mathbb{E}[Z(t)\,Z(t+\tau)]-\mathbb{E}[Z(t)]\,\mathbb{E}[Z(t+\tau)].
Como Z(t)=X^2(t) e X tem média zero, temos
\mathbb{E}[Z(t)] =\mathbb{E}[X^2(t)] =C_X(0),
onde C_X(0)=\mathrm{Var}[X(t)].

Passo 3

Precisamos de \mathbb{E}[Z(t)\,Z(t+\tau)]=\mathbb{E}[X^2(t)\,X^2(t+\tau)].
Para variáveis gaussianas de média zero vale o teorema de Isserlis (ou Wick), que diz:
\mathbb{E}[X^2(t)\,X^2(t+\tau)] =\mathbb{E}[X(t)X(t)]\,\mathbb{E}[X(t+\tau)X(t+\tau)] +2\bigl(\mathbb{E}[X(t)X(t+\tau)]\bigr)^{2}.
Ora \mathbb{E}[X(t)X(t)]=C_X(0) e \mathbb{E}[X(t)X(t+\tau)] = C_X(\tau). Logo,
\mathbb{E}[X^2(t)\,X^2(t+\tau)] =C_X(0)^2+2\,C_X(\tau)^2.

Passo 4

Substituindo em C_Z(\tau),
C_Z(\tau) =\bigl[C_X(0)^2+2\,C_X(\tau)^2\bigr] -\bigl[C_X(0)\bigr]^2 =2\,C_X(\tau)^2.
Assim mostramos que
\boxed{C_Z(\tau)=2\,C_X(\tau)^2.}

Passo 5

Para que \{Z(t)\} fosse gaussiano, qualquer vetor \bigl(Z(t_1),\dots,Z(t_n)\bigr) teria de ser multivariado normal. Mas Z(t)=X^2(t) é uma transformação quadrática de X(t) e suas distribuições marginais são \chi^2 com 1 grau de liberdade, não normais. Portanto
\boxed{\text{O processo }\{Z(t)\}\text{ não é gaussiano.}}ãé

Resposta

C_Z(\tau)=2\,C_X(\tau)^2.
O processo \{Z(t)\} não é gaussiano.

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