• Exercício 5: Considere as afirmações abaixo. Classifique cada uma como verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
    Se um processo gaussiano é WSS, então ele é SSS.

Passo 1

O enunciado pergunta se um processo estocástico Gaussiano que é estacionário em sentido amplo (WSS) também é estacionário em sentido estrito (SSS). Vamos usar as definições de WSS e SSS e a propriedade de que processos Gaussianos são totalmente caracterizados por média e covariância.

Passo 2

Estacionariedade em sentido estrito (SSS) significa que, para todo n, todo conjunto de instantes t_{1},\dots,t_{n} e todo deslocamento \tau, as distribuições conjuntas satisfazem
\bigl(X(t_{1}+\tau),\dots,X(t_{n}+\tau)\bigr)\sim\bigl(X(t_{1}),\dots,X(t_{n})\bigr).
Estacionariedade em sentido amplo (WSS) exige apenas que \mu_{X}(t)=\mathbb{E}[X(t)]=\mu (constante)
e \mathrm{Cov}(X(t_{1}),X(t_{2}))=C_{X}(t_{2}-t_{1}),
isto é, a autocovariância depende só da defasagem t_{2}-t_{1}.

Passo 3

Num processo Gaussiano, qualquer vetor \bigl(X(t_{1}),\dots,X(t_{n})\bigr) tem distribuição multivariada normal completamente determinada pelo vetor de médias \mathbf{m}=(\mu_{X}(t_{1}),\dots,\mu_{X}(t_{n}))
e pela matriz de covariância \Sigma_{ij}=\mathrm{Cov}(X(t_{i}),X(t_{j})).

Passo 4

Se o processo é WSS, então para todo conjunto \{t_{i}\} e todo \tau vale \mu_{X}(t_{i}+\tau)=\mu e \mathrm{Cov}(X(t_{i}+\tau),X(t_{j}+\tau))=C_{X}\bigl((t_{j}+\tau)-(t_{i}+\tau)\bigr)=C_{X}(t_{j}-t_{i}).
Logo, o vetor de médias e a matriz de covariância de \bigl(X(t_{1}+\tau),\dots,X(t_{n}+\tau)\bigr) coincidem com os de \bigl(X(t_{1}),\dots,X(t_{n})\bigr). Por unicidade da distribuição normal, as distribuições conjuntas são iguais, ou seja, o processo é SSS.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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