- Exercício 5: Considere as afirmações abaixo. Classifique cada uma como verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se um processo gaussiano é WSS, então ele é SSS.
Se um processo gaussiano é WSS, então ele é SSS.
Passo 1
O enunciado pergunta se um processo estocástico Gaussiano que é estacionário em sentido amplo (WSS) também é estacionário em sentido estrito (SSS). Vamos usar as definições de WSS e SSS e a propriedade de que processos Gaussianos são totalmente caracterizados por média e covariância.
Passo 2
Estacionariedade em sentido estrito (SSS) significa que, para todo
, todo conjunto de instantes
e todo deslocamento
, as distribuições conjuntas satisfazem
Estacionariedade em sentido amplo (WSS) exige apenas que
(constante)
e ,
isto é, a autocovariância depende só da defasagem .
e
isto é, a autocovariância depende só da defasagem
Passo 3
Num processo Gaussiano, qualquer vetor
tem distribuição multivariada normal completamente determinada pelo vetor de médias
e pela matriz de covariância .
e pela matriz de covariância
Passo 4
Se o processo é WSS, então para todo conjunto
e todo
vale
e
.
Logo, o vetor de médias e a matriz de covariância de coincidem com os de
. Por unicidade da distribuição normal, as distribuições conjuntas são iguais, ou seja, o processo é SSS.
Logo, o vetor de médias e a matriz de covariância de
Resposta
A afirmação é verdadeira.