• Exercício 5: Considere as afirmações abaixo. Classifique cada uma como verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
    Se {X(t)} e {Y(t)} são dois processos WGN independentes, então {X(t) Y(t)} é um ruído branco não gaussiano.

Passo 1

Resumindo: temos dois processos de ruído branco gaussiano independentes X(t) e Y(t), cada um com
\mu_X=E[X(t)]=0,\quad R_X(\tau)=E[X(t)X(t+\tau)]=\sigma_X^2\,\delta(\tau)
e analogamente para Y(t). Definimos o processo Z(t)=X(t)\,Y(t). Para mostrar que Z(t) é ruído branco não–gaussiano, precisamos verificar (a) média zero, (b) autocorrelação nula para defasagem \tau\neq0, e (c) que a lei de probabilidade de Z(t) em cada instante não é Gaussiana.

Passo 2

Calcular a média de Z(t):
\mu_Z \;=\; E[Z(t)] \;=\; E[X(t)\,Y(t)]
Como X(t) e Y(t) são independentes e cada uma tem média zero,
E[X(t)\,Y(t)] \;=\; E[X(t)]\,E[Y(t)] \;=\; 0\cdot0 \;=\; 0.

Passo 3

Calcular a autocorrelação de Z(t) para defasagem \tau\neq0:
R_Z(\tau) =E\bigl[Z(t)\,Z(t+\tau)\bigr] =E\bigl[X(t)\,Y(t)\,X(t+\tau)\,Y(t+\tau)\bigr].
Devido à independência entre X e Y e também à independência temporal de WGN, esse quarto momento fatora:
R_Z(\tau) =E[X(t)X(t+\tau)]\;\cdot\;E[Y(t)Y(t+\tau)] =\sigma_X^2\,\delta(\tau)\;\cdot\;\sigma_Y^2\,\delta(\tau).
Para \tau\neq0 temos \delta(\tau)=0, logo R_Z(\tau)=0. Portanto as amostras em instantes distintos são não correlacionadas, caracterizando Z(t) como ruído branco.

Passo 4

Verificar que Z(t) não é Gaussiano: em um instante fixo t, Z(t)=X(t)\,Y(t) é o produto de duas variáveis Gaussianas independentes. A distribuição do produto não é Gaussiana (é dada por uma função envolvendo K_0, a função modificada de Bessel), logo Z(t) é um ruído branco não gaussiano.

Resposta

A afirmação é verdadeira. \;Z(t)=X(t)\,Y(t) tem média zero, autocorrelação nula para \tau\neq0 (é branco) e não tem distribuição Gaussiana em cada t.

Exercícios relacionados