• Exercício 4: Seja o processo \{W(n)\}_{n \in \mathbb{Z}} um ruído branco gaussiano (WGN, do inglês, white gaussian noise). Assim,
W(n) \sim \mathcal{N}\left(0, \sigma^{2}\right), \quad \text { iid em } n,
onde \sigma^{2}>0 é constante.
(a) Mostre que \{W(n)\} é WSS e SSS.
(b) Determine as funções média e autocorrelação.
(c) Determine a PDF conjunta de W(1), W(2), e W(3).
(d) Seja a_{1}, \ldots, a_{m} \in \mathbb{R}. Defina X \triangleq \sum_{i=1}^{m} a_{i} W\left(n_{i}\right). Mostre que X \sim \mathcal{N}\left(0, \sigma^{2} \sum_{i=1}^{m} a_{i}^{2}\right).

Passo 1

O enunciado define um processo \{W(n)\}_{n\in\mathbb{Z}} que em cada instante n é uma variável aleatória gaussiana, independente e identicamente distribuída (iid) com média zero e variância \sigma^2. Os itens pedem para (a) mostrar que esse processo é estacionário em segunda ordem (WSS) e estritamente estacionário (SSS), (b) determinar a função média e a autocorrelação, (c) escrever a PDF conjunta de três amostras W(1),W(2),W(3), e (d) provar que uma combinação linear X=\sum_{i=1}^m a_i\,W(n_i) é gaussiana com média zero e variância \sigma^2\sum_i a_i^2.

Passo 2

Vamos calcular a média e a autocorrelação para então concluir a WSS.
A média em qualquer instante n é
\mu_W(n)=\mathbb{E}[W(n)]=0
pois W(n)\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2). A autocorrelação em instantes n e m é
R_W(n,m)=\mathbb{E}[W(n)\,W(m)].
Como são independentes quando n\neq m, tem-se \mathbb{E}[W(n)W(m)]=\mathbb{E}[W(n)]\mathbb{E}[W(m)]=0. Quando n=m,
R_W(n,n)=\mathbb{E}[W(n)^2]=\sigma^2.
Assim
R_W(n,m)=\sigma^2\,\delta[n-m],
onde \delta[k] é o delta de Kronecker. Vemos que \mu_W(n) é constante e R_W(n,m) depende apenas da diferença n-m, logo o processo é WSS.

Passo 3

Para SSS precisamos que a distribuição conjunta de quaisquer W(n_1),\dots,W(n_k) seja invariante por deslocamentos de tempo. Como as variáveis são iid e cada uma \mathcal{N}(0,\sigma^2), a densidade conjunta de (W(n_1),\dots,W(n_k)) depende só das diferenças entre os índices, não de sua posição absoluta. Logo a lei conjunta é a mesma de (W(n_1+\ell),\dots,W(n_k+\ell)) para todo \ell, caracterizando a estrita estacionaridade.

Passo 4

Para três instantes fixos 1,2,3, como são independentes e gaussianas, a PDF conjunta é o produto das marginais:
f_{W(1),W(2),W(3)}(w_1,w_2,w_3) =\frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{3/2}} \exp\!\Bigl(-\frac{w_1^2+w_2^2+w_3^2}{2\sigma^2}\Bigr).

Passo 5

Seja X=\sum_{i=1}^m a_i\,W(n_i). Como cada W(n_i) é gaussiana e independentes, qualquer combinação linear é gaussiana. A média de X é
\mathbb{E}[X] =\sum_{i=1}^m a_i\,\mathbb{E}[W(n_i)] =0,
e a variância é
\mathrm{Var}(X) =\sum_{i=1}^m a_i^2\,\mathrm{Var}(W(n_i)) =\sigma^2\sum_{i=1}^m a_i^2.
Assim
X\sim\mathcal{N}\bigl(0,\;\sigma^2\sum_{i=1}^m a_i^2\bigr).

Resposta

(a) O processo é WSS e SSS.
(b) \mu_W(n)=0 e R_W(n,m)=\sigma^2\,\delta[n-m].
(c)
f_{W(1),W(2),W(3)}(w_1,w_2,w_3) =\frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{3/2}} \exp\!\Bigl(-\frac{w_1^2+w_2^2+w_3^2}{2\sigma^2}\Bigr).
(d)
X=\sum_{i=1}^m a_i\,W(n_i) \sim\mathcal{N}\!\Bigl(0,\;\sigma^2\sum_{i=1}^m a_i^2\Bigr).

Exercícios relacionados