- Exercício 4: Seja o processo
um ruído branco gaussiano (WGN, do inglês, white gaussian noise). Assim,
onde
é constante.
(a) Mostre que
é WSS e SSS.
(b) Determine as funções média e autocorrelação.
(c) Determine a PDF conjunta de
, e
.
(d) Seja
. Defina
. Mostre que
.
(a) Mostre que
(b) Determine as funções média e autocorrelação.
(c) Determine a PDF conjunta de
(d) Seja
Passo 1
O enunciado define um processo
que em cada instante
é uma variável aleatória gaussiana, independente e identicamente distribuída (iid) com média zero e variância
. Os itens pedem para (a) mostrar que esse processo é estacionário em segunda ordem (WSS) e estritamente estacionário (SSS), (b) determinar a função média e a autocorrelação, (c) escrever a PDF conjunta de três amostras
, e (d) provar que uma combinação linear
é gaussiana com média zero e variância
.
Passo 2
Vamos calcular a média e a autocorrelação para então concluir a WSS.
A média em qualquer instante é
A média em qualquer instante
pois
. A autocorrelação em instantes
e
é
Como são independentes quando
, tem-se
. Quando
,
Assim
onde
é o delta de Kronecker. Vemos que
é constante e
depende apenas da diferença
, logo o processo é WSS.
Passo 3
Para SSS precisamos que a distribuição conjunta de quaisquer
seja invariante por deslocamentos de tempo. Como as variáveis são iid e cada uma
, a densidade conjunta de
depende só das diferenças entre os índices, não de sua posição absoluta. Logo a lei conjunta é a mesma de
para todo
, caracterizando a estrita estacionaridade.
Passo 4
Para três instantes fixos
, como são independentes e gaussianas, a PDF conjunta é o produto das marginais:
Passo 5
Seja
. Como cada
é gaussiana e independentes, qualquer combinação linear é gaussiana. A média de
é
e a variância é
Assim
Resposta
(a) O processo é WSS e SSS.
(b) e
.
(c)
(b)
(c)
(d)