- Exercício 5: Considere as afirmações abaixo. Classifique cada uma como verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se duas variáveis aleatórias de um processo gaussiano são descorrelacionadas, então elas são independentes.
Se duas variáveis aleatórias de um processo gaussiano são descorrelacionadas, então elas são independentes.
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação:
“Se duas variáveis aleatórias de um processo gaussiano são descorrelacionadas, então elas são independentes.”
O conteúdo envolvido é a relação entre correlação (covariância zero) e independência no contexto de processos (ou vetores) gaussianos.
“Se duas variáveis aleatórias de um processo gaussiano são descorrelacionadas, então elas são independentes.”
O conteúdo envolvido é a relação entre correlação (covariância zero) e independência no contexto de processos (ou vetores) gaussianos.
Passo 2
Dizemos que duas variáveis aleatórias
e
são descorrelacionadas se
Já “independência” significa que a densidade conjunta factoriza em produto das densidades marginais:
Passo 3
Uma propriedade fundamental do vetor aleatório
quando ele é bivariado normal (processo gaussiano de dimensão 2) é:
se é conjunto gaussiano, então qualquer sub-vetor também é gaussiano, e covariância zero implica independência. Em particular, a densidade conjunta de
é
se
onde
é a matriz de covariância. Se
, então
o que faz com que
Isso mostra que
e
se tornam independentes.
Passo 4
Como no caso gaussiano covariância nula implica fatoração da densidade conjunta, a afirmação é verdadeira.
Resposta
Verdadeira.