• Exercício 5: Considere as afirmações abaixo. Classifique cada uma como verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
    Se duas variáveis aleatórias de um processo gaussiano são descorrelacionadas, então elas são independentes.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação:
“Se duas variáveis aleatórias de um processo gaussiano são descorrelacionadas, então elas são independentes.”
O conteúdo envolvido é a relação entre correlação (covariância zero) e independência no contexto de processos (ou vetores) gaussianos.

Passo 2

Dizemos que duas variáveis aleatórias X e Y são descorrelacionadas se
\cov(X,Y)=0.
Já “independência” significa que a densidade conjunta factoriza em produto das densidades marginais:
f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)\,f_Y(y)\quad\forall\,x,y.

Passo 3

Uma propriedade fundamental do vetor aleatório (X,Y) quando ele é bivariado normal (processo gaussiano de dimensão 2) é:
se (X,Y) é conjunto gaussiano, então qualquer sub-vetor também é gaussiano, e covariância zero implica independência. Em particular, a densidade conjunta de (X,Y) é
f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2\pi\sqrt{\det\Sigma}} \exp\Bigl(-\tfrac12\bigl([x-\mu_X,y-\mu_Y]\Sigma^{-1}[x-\mu_X,y-\mu_Y]^{T}\bigr)\Bigr),
onde \Sigma é a matriz de covariância. Se \cov(X,Y)=0, então
\Sigma=\begin{pmatrix}\sigma_X^2&0\\\ 0&\sigma_Y^2\end{pmatrix},
o que faz com que
f_{X,Y}(x,y) =\frac{1}{2\pi\,\sigma_X\sigma_Y} \exp\!\bigl(-\tfrac{(x-\mu_X)^2}{2\sigma_X^2}\bigr) \exp\!\bigl(-\tfrac{(y-\mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2}\bigr) =f_X(x)\,f_Y(y).
Isso mostra que X e Y se tornam independentes.

Passo 4

Como no caso gaussiano covariância nula implica fatoração da densidade conjunta, a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeira.

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