• Exercício 5: Considere as afirmações abaixo. Classifique cada uma como verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
    Existe um processo estacionário {X(t)}_{t \in \mathbb{R}}) que possui a função de autocovariância C_{X}(\tau)=\sin (\tau), \tau \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe um processo estacionário de segunda ordem \{X(t)\}_{t\in\mathbb{R}} cuja função de autocovariância seja
C_{X}(\tau)=\sin(\tau),\quad \tau\in\mathbb{R}.
Para responder, precisamos lembrar as propriedades que toda função de autocovariância deve satisfazer:
  1. Simetria: C_{X}(\tau)=C_{X}(-\tau).
  2. Positividade semidefinida: para quaisquer n, instantes t_{1},\dots,t_{n} e complexos a_{1},\dots,a_{n} vale
\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{i}\overline{a_{j}}\,C_{X}(t_{i}-t_{j})\ge0.

Passo 2

Verificamos a simetria de \sin(\tau). De fato,
\sin(-\tau)=-\sin(\tau),
ou seja, \sin(\tau) é uma função ímpar, não satisfazendo C_{X}(\tau)=C_{X}(-\tau).

Passo 3

Como a condição de simetria falha, \sin(\tau) não pode ser uma função de autocovariância de processo estacionário. Não precisamos nem verificar a positividade semidefinida, pois já falhou a propriedade essencial de simetria.

Resposta

A afirmação é falsa.

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