Exercício 4.8.6. Seja F: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} a aplicação linear que, com respeito à base canônica \mathcal{B}_{4} de \mathbb{R}^{4}, possui matriz representativa
M_{F}^{\mathcal{B}_{4}}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & k & 0 \\\ k & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & k \\\\ 0 & k & 0 & 1 \end{array}\right)
a) Encontrar os valores do parâmetro real k para os quais \operatorname{Ker} F=\{(0,0,0,0)\};
Diego Catalano Ferraioli © - Reprodução Proibida
b) Para k arbitrário exibir uma base de \operatorname{Ker} F e uma base de \operatorname{Im} F.

Passo 1

O enunciado define F:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 cuja matriz na base canônica é
M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & k & 0\\\ k & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & k\\\\ 0 & k & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Precisamos decidir para quais k a aplicação é injetora \ker F=\{0\} e, em seguida, para valor arbitrário de k, exibir uma base de \ker F e uma base de \mathrm{Im}\,F. Vamos usar determinantes para o item (a) e resolver Mv=0 e examinar colunas para o item (b).

Passo 2

Calcular \det M. Expandindo ao longo da segunda coluna (que só tem dois elementos não nulos, nas linhas 3 e 4), obtemos
\det M \;=\;-\,\det\begin{pmatrix} 1 & k & 0\\\ k & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \;+\;k\;\det\begin{pmatrix} 1 & k & 0\\\ k & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & k \end{pmatrix}.
Como
\det\begin{pmatrix} 1 & k\\\ k & 1 \end{pmatrix} =1-k^2,
segue
\det M = -(1-k^2)\cdot1 \;+\;k\bigl(k\,(1-k^2)\bigr) =(k^2-1)(1-k^2)=-\,(1-k^2)^2.

Passo 3

A aplicação é injetora (e, como é quadrada, bijetora) exatamente quando \det M\neq0. Como
\det M=-(1-k^2)^2\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1-k^2\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad k\neq\pm1,
concluímos que \ker F=\{0\} se, e só se, k\neq\pm1.

Passo 4

Determinar \ker F para valor arbitrário de k.
  1. Se k\neq\pm1, já vimos que \ker F=\{0\}. A base do espaço nulo é, portanto, o conjunto vazio (ou seja, não há vetores não nulos).
  2. Se k=1, o sistema Mv=0 dá as equações
x+z=0, \quad y+w=0
(as outras são repetidas), logo
v=(x,y,z,w)=(-z,-w,z,w) =z\,(-1,0,1,0)+w\,(0,-1,0,1).
Assim, uma base de \ker F para k=1 é
\{\,(-1,0,1,0),\,(0,-1,0,1)\}.
  1. Se k=-1, o sistema dá
x-z=0, \quad y-w=0,
logo
v=(z,w,z,w) =z\,(1,0,1,0)+w\,(0,1,0,1).
Uma base de \ker F para k=-1 é
\{(1,0,1,0),\,(0,1,0,1)\}.

Passo 5

Determinar \mathrm{Im}\,F via colunas de M. Denotemos as colunas por
c_1=(1,k,0,0),\; c_2=(0,0,1,k),\; c_3=(k,1,0,0),\; c_4=(0,0,k,1).
  1. Se k\neq\pm1, \rank M=4, então \mathrm{Im}\,F=\mathbb{R}^4 e uma base é a base canônica \{e_1,e_2,e_3,e_4\}.
  2. Se k=1, observa-se c_3=c_1 e c_4=c_2, e c_1,c_2 são linearmente independentes, logo
\mathrm{Im}\,F=\Span\{c_1,c_2\} =\Span\{(1,1,0,0),\,(0,0,1,1)\}.
  1. Se k=-1, tem-se c_3=-c_1 e c_4=-c_2, com c_1,c_2 independentes, logo
\mathrm{Im}\,F=\Span\{c_1,c_2\} =\Span\{(1,-1,0,0),\,(0,0,1,-1)\}.

Resposta

a) \ker F=\{0\} se, e só se, k\neq\pm1.
b)
  • Para k\neq\pm1:
    • Base de \ker F: conjunto vazio (espaço nulo trivial).
    • Base de \mathrm{Im}\,F: \{e_1,e_2,e_3,e_4\}.
  • Para k=1:
    • Base de \ker F: \{\,(-1,0,1,0),\,(0,-1,0,1)\}.
    • Base de \mathrm{Im}\,F: \{(1,1,0,0),\,(0,0,1,1)\}.
  • Para k=-1:
    • Base de \ker F: \{(1,0,1,0),\,(0,1,0,1)\}.
    • Base de \mathrm{Im}\,F: \{(1,-1,0,0),\,(0,0,1,-1)\}.

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