Exercício 4.8.6. Seja F: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} a aplicação linear que, com respeito à base canônica \mathcal{B}_{4} de \mathbb{R}^{4}, possui matriz representativa
M_{F}^{\mathcal{B}_{4}}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & k & 0 \\\ k & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & k \\\\ 0 & k & 0 & 1 \end{array}\right)
a) Encontrar os valores do parâmetro real k para os quais \operatorname{Ker} F=\{(0,0,0,0)\};
O enunciado define F:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 cuja matriz na base canônica é
M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & k & 0\\\ k & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & k\\\\ 0 & k & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Precisamos decidir para quais k a aplicação é injetora \ker F=\{0\} e, em seguida, para valor arbitrário de k, exibir uma base de \ker F e uma base de \mathrm{Im}\,F. Vamos usar determinantes para o item (a) e resolver Mv=0 e examinar colunas para o item (b).
Passo 2
Calcular \det M. Expandindo ao longo da segunda coluna (que só tem dois elementos não nulos, nas linhas 3 e 4), obtemos
\det M \;=\;-\,\det\begin{pmatrix} 1 & k & 0\\\ k & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \;+\;k\;\det\begin{pmatrix} 1 & k & 0\\\ k & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & k \end{pmatrix}.
Como
\det\begin{pmatrix} 1 & k\\\ k & 1 \end{pmatrix} =1-k^2,
segue
\det M = -(1-k^2)\cdot1 \;+\;k\bigl(k\,(1-k^2)\bigr) =(k^2-1)(1-k^2)=-\,(1-k^2)^2.
Passo 3
A aplicação é injetora (e, como é quadrada, bijetora) exatamente quando \det M\neq0. Como