Exercício 4.8.7. Seja
a aplicação linear definida pelas condições:
Encontrar uma base de
e uma base de
, e dizer para quais valores do parâmetro real
o vetor (
) não pertence a
.
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação linear
definida em três vetores que formam base de
:
com
Queremos encontrar uma base de
, uma base de
e os valores de
para os quais
.
Os tópicos de teoria são: mudança de base para obter a fórmula de , resolução do sistema
e estudo de condições de pertença ao subespaço imagem.
Os tópicos de teoria são: mudança de base para obter a fórmula de
Passo 2
Como
é base de
, escrevemos um vetor genérico
nessa base:
Resolvendo
,
,
obtemos
,
,
.
Logo
Logo
e, calculando coordenada a coordenada,
Passo 3
Para achar
De
. Substituindo na primeira equação:
,;logo
e
.
Então
ou seja
Passo 4
A imagem é o span de
,
,
, ou seja de
,
e
. Note que
ou seja
é combinação de
e
.
Logo duas dessas são independentes e formam base, por exemplo
Logo duas dessas são independentes e formam base, por exemplo
ou, de modo equivalente,
.
Passo 5
Um vetor
pertence a
se e somente se suas duas primeiras coordenadas forem iguais (porque toda imagem tem forma
).
Portanto é necessário .
Concluímos que, para o vetor
não pertence a
.
Portanto é necessário
Concluímos que, para
Resposta
Base de
:
Base de :
exatamente quando
.
Base de