Exercício 4.8.7. Seja F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a aplicação linear definida pelas condições:
F(1,0,1)=(1,1,1), \quad F(1,1,0)=(0,0,1), \quad F(0,1,0)=(3,3,1)
Encontrar uma base de \operatorname{Ker} F e uma base de \operatorname{Im} F, e dizer para quais valores do parâmetro real a o vetor ( a, 1,2 ) não pertence a \operatorname{Im} F.

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação linear
F\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}
definida em três vetores que formam base de \mathbb{R}^{3}:
v_{1}=(1,0,1),\quad v_{2}=(1,1,0),\quad v_{3}=(0,1,0),
com
F(v_{1})=(1,1,1),\quad F(v_{2})=(0,0,1),\quad F(v_{3})=(3,3,1).
Queremos encontrar uma base de \operatorname{Ker}F, uma base de \operatorname{Im}F e os valores de a\in\mathbb{R} para os quais (a,1,2)\notin\operatorname{Im}F.
Os tópicos de teoria são: mudança de base para obter a fórmula de F, resolução do sistema F(x,y,z)=0 e estudo de condições de pertença ao subespaço imagem.

Passo 2

Como \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é base de \mathbb{R}^{3}, escrevemos um vetor genérico (x,y,z) nessa base:
(x,y,z)=\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3} =(\alpha+\beta,\;\beta+\gamma,\;\alpha).
Resolvendo \alpha+\beta=x, \beta+\gamma=y, \alpha=z obtemos \alpha=z, \beta=x-z, \gamma=y-x+z.
Logo
F(x,y,z) =z\,F(v_{1})+(x-z)\,F(v_{2})+(y-x+z)\,F(v_{3})
e, calculando coordenada a coordenada,
F(x,y,z) =\bigl(3y-3x+4z,\;3y-3x+4z,\;y+z\bigr).

Passo 3

Para achar \operatorname{Ker}F\) resolvemos \[F(x,y,z)=(0,0,0) \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} -3x+3y+4z=0,\\\ y+z=0. \end{cases}
De y+z=0\] vem \(y=-z. Substituindo na primeira equação: -3x+3(-z)+4z=-3x+z=0,;logo z=3x e y=-3x.
Então
(x,y,z)=x\,(1,-3,3),
ou seja
\text{base de }\operatorname{Ker}F=\{(1,-3,3)\}.

Passo 4

A imagem é o span de F(v_{1}), F(v_{2}), F(v_{3}), ou seja de (1,1,1), (0,0,1) e (3,3,1). Note que
3\,(1,1,1)- (3,3,1)= (0,0,2)=2\,(0,0,1),
ou seja (3,3,1) é combinação de (1,1,1) e (0,0,1).
Logo duas dessas são independentes e formam base, por exemplo
\text{base de }\operatorname{Im}F=\{(1,1,1),\,(0,0,1)\}
ou, de modo equivalente, \{(1,1,0),(0,0,1)\}.

Passo 5

Um vetor (a,1,2) pertence a \operatorname{Im}F se e somente se suas duas primeiras coordenadas forem iguais (porque toda imagem tem forma (A,A,B)).
Portanto é necessário a=1.
Concluímos que, para a\neq1, o vetor (a,1,2) não pertence a \operatorname{Im}F.

Resposta

Base de \operatorname{Ker}F: \{(1,-3,3)\}
Base de \operatorname{Im}F: \{(1,1,1),\,(0,0,1)\} (a,1,2)\notin\operatorname{Im}F exatamente quando a\neq1.

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