Exercício 6

Considere a base B:=(1,1,1),(1,1,-1),(2,0,0) de R^3 e a família linearmente independente A=(1,0,0),(2,2,-2). Pelo Teorema da Base Incompleta, é possível completar A a uma base de R^3 acrescentando um elemento de B. Quais elementos podem ser escolhidos?

Passo 1

O enunciado nos dá a base B=(1,1,1),,(1,1,-1),,(2,0,0) e a família linearmente independente A=(1,0,0),,(2,2,-2) em R^3. Pelo Teorema da Base Incompleta, queremos completar A a uma base adicionando exatamente um vetor de B.

Passo 2

Para garantir que o vetor escolhido preserve a independência, ele não pode pertencer ao span de A. Vamos então descrever um vetor genérico de span(A) como combinação linear de a1=(1,0,0) e a2=(2,2,-2):
alpha(1,0,0)+beta(2,2,-2)=(alpha+2beta,,2beta,,-2beta)

Passo 3

Testamos primeiro (1,1,1). Das coordenadas x e y temos
alpha+2beta=1,
e
2beta=1
que implica beta=tfrac12 e alpha=0. Então o z seria -2beta=-1, mas precisamos de +1. Não bate: logo (1,1,1) não está em span(A) e é independente de A.

Passo 4

Agora testamos (1,1,-1) e (2,0,0):
Para (1,1,-1) as equações
alpha+2beta=1,
2beta=1
levam a beta=tfrac12, alpha=0 e portanto z=-2beta=-1, que coincide com -1. Assim (1,1,-1) está em span(A).
Para (2,0,0) temos
alpha+2beta=2,
2beta=0
que dão beta=0, alpha=2 e z=0, então (2,0,0) também está no span. Esses dois não servem.

Passo 5

Concluindo, o único elemento de B que não pertence ao span(A) e que podemos adicionar para completar A a uma base de R^3 é (1,1,1).

Resposta

{(1,1,1)}

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