Exercício 6
Considere a base
de
e a família linearmente independente
. Pelo Teorema da Base Incompleta, é possível completar
a uma base de
acrescentando um elemento de
. Quais elementos podem ser escolhidos?
Passo 1
O enunciado nos dá a base
e a família linearmente independente
em
. Pelo Teorema da Base Incompleta, queremos completar
a uma base adicionando exatamente um vetor de
.
Passo 2
Para garantir que o vetor escolhido preserve a independência, ele não pode pertencer ao span de
. Vamos então descrever um vetor genérico de
como combinação linear de
e
:
Passo 3
Testamos primeiro
. Das coordenadas
e
temos
e
que implica e
. Então o
seria
, mas precisamos de
. Não bate: logo
não está em
e é independente de
.
e
que implica
Passo 4
Agora testamos
e
:
Para as equações
levam a ,
e portanto
, que coincide com
. Assim
está em
.
Para temos
que dão ,
e
, então
também está no span. Esses dois não servem.
Para
levam a
Para
que dão
Passo 5
Concluindo, o único elemento de
que não pertence ao
e que podemos adicionar para completar
a uma base de
é
.
Resposta
{(1,1,1)}