Questão 53. Considere os vetores u=(2, m, 0), v=(1,-1,2) e w=(-1,3,-1). Determine o valor de m para que os vetores u, v e w sejam coplanares.

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(2,m,0), v=(1,-1,2) e w=(-1,3,-1) em R^3 e pede o valor de m para que eles sejam coplanares. O conteúdo aqui é produto misto (ou escalar triplo), cuja condição de coplanaridade é
ucdot(vtimesw) = 0
Vamos usar que isso equivale a um determinante igual a zero.

Passo 2

Escrevemos o produto misto como determinante:
ucdot(vtimesw) =det 2 & 1 & -1 m & -1 & 3 0 & 2 & -1 =0

Passo 3

Calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det = 2det-1 & 32 & -1 -1detm & 30 & -1 +(-1)detm & -10 & 2
Agora cada menor:
det-1 & 32 & -1 =(-1)(-1)-3cdot2=1-6=-5,
detm & 30 & -1 =mcdot(-1)-3cdot0=-m,
detm & -10 & 2 =mcdot2-(-1)cdot0=2m
Substituindo:
det = 2(-5) -1(-m) +(-1)(2m) = -10 + m -2m = -10 -m

Passo 4

Impondo -10 - m = 0 obtemos
m = -10

Resposta

m=-10

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