Exercício 4. (2.0 pontos) Mostre rigorosamente que não é possivel construir um campo vetorial
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe campo vetorial
de classe
em
tal que
A ferramenta principal é a identidade clássica de cálculo vetorial: para todo campo
suficientemente suave,
Passo 2
Definamos
Calculemos a divergência de
:
Como
segue que
Passo 3
Se existisse
tal que
, deveríamos ter
Mas
não é identicamente zero. Há pontos, por exemplo
, em que
.
Resposta
Não existe campo vetorial
satisfazendo
, pois sua divergência seria
, em contradição com
.