Exercício 4. (2.0 pontos) Mostre rigorosamente que não é possivel construir um campo vetorial \vec{G} tal que \nabla \times \vec{G}=\left(e^{x}, y z, x+y\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe campo vetorial \vec{G} de classe C^2 em \mathbb{R}^3 tal que
\nabla \times \vec{G} = \bigl(e^x,\;y z,\;x+y\bigr).
A ferramenta principal é a identidade clássica de cálculo vetorial: para todo campo \vec{G} suficientemente suave,
\nabla\!\cdot\!(\nabla \times \vec{G}) = 0.

Passo 2

Definamos
\vec{F}(x,y,z) = \bigl(e^x,\;y z,\;x+y\bigr).
Calculemos a divergência de \vec{F}:
\nabla\!\cdot\!\vec{F} = \frac{\partial}{\partial x}(e^x) + \frac{\partial}{\partial y}(y z) + \frac{\partial}{\partial z}(x+y).
Como
\frac{\partial}{\partial x}(e^x)=e^x,\quad \frac{\partial}{\partial y}(y z)=z,\quad \frac{\partial}{\partial z}(x+y)=0,
segue que
\nabla\!\cdot\!\vec{F} = e^x + z.

Passo 3

Se existisse \vec{G} tal que \nabla \times \vec{G} = \vec{F}, deveríamos ter
\nabla\!\cdot\!(\nabla \times \vec{G}) = \nabla\!\cdot\!\vec{F} \quad\Longrightarrow\quad 0 = e^x + z \quad\text{em todo \(\mathbb{R}^3\).}
Mas e^x + z não é identicamente zero. Há pontos, por exemplo (0,0,0), em que e^0+0=1\neq0.

Resposta

Não existe campo vetorial \vec{G} satisfazendo \nabla \times \vec{G}=(e^x,yz,x+y), pois sua divergência seria e^x+z\neq0, em contradição com \nabla\cdot(\nabla\times\vec{G})=0.

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