Exercício 3. (2.5 pontos) Considere uma concha metálica esférica perfeita de raio
, imersa em un campo vetorial
que representa a intensidade do campo magnético em uma região do espaço. Suponha que
tenha componentes suficientemente difrenciáveis e esteja definido numa vizinhança da superfície da concha. Analise se o fluxo do rotacional do campo magnético através da superfície da concha pode ser diferente de zero.
Passo 1
O enunciado pede para analisar o fluxo do rotacional de um campo vetorial
através de uma concha esférica perfeita (isto é, uma superfície fechada de raio
). O conteúdo envolvido é cálculo vetorial, em particular o uso do Teorema da Divergência (ou Gauss) e a identidade que diz que a divergência de um rotacional é sempre zero.
Passo 2
Lembramos do resultado de cálculo vetorial que vale para qualquer campo suficientemente suave:
Isto decorre de desenvolver as derivadas parciais e verificar que cada termo aparece com sinal trocado, cancelando-se mutuamente.
Passo 3
Aplicamos o Teorema da Divergência à região sólida
limitada pela concha esférica de raio
. Seja
o vetor unitário normal à superfície
. Então
Como
em toda vizinhança de
, o integrando é identicamente zero.
Passo 4
Concluímos que
Portanto, o fluxo do rotacional de
através de qualquer concha esférica fechada é necessariamente igual a zero.
Resposta
O fluxo do rotacional de
através da superfície esférica é igual a zero.