Exercício 3. (2.5 pontos) Considere uma concha metálica esférica perfeita de raio \tau, imersa em un campo vetorial \vec{F} que representa a intensidade do campo magnético em uma região do espaço. Suponha que \vec{F} tenha componentes suficientemente difrenciáveis e esteja definido numa vizinhança da superfície da concha. Analise se o fluxo do rotacional do campo magnético através da superfície da concha pode ser diferente de zero.

Passo 1

O enunciado pede para analisar o fluxo do rotacional de um campo vetorial \vec{F} através de uma concha esférica perfeita (isto é, uma superfície fechada de raio \tau). O conteúdo envolvido é cálculo vetorial, em particular o uso do Teorema da Divergência (ou Gauss) e a identidade que diz que a divergência de um rotacional é sempre zero.

Passo 2

Lembramos do resultado de cálculo vetorial que vale para qualquer campo suficientemente suave:
\nabla\cdot\bigl(\nabla\times \vec{F}\bigr)=0.
Isto decorre de desenvolver as derivadas parciais e verificar que cada termo aparece com sinal trocado, cancelando-se mutuamente.

Passo 3

Aplicamos o Teorema da Divergência à região sólida V limitada pela concha esférica de raio \tau. Seja \mathbf{n} o vetor unitário normal à superfície S=\partial V. Então
\iint_{S} \bigl(\nabla\times \vec{F}\bigr)\cdot \mathbf{n}\,dS =\iiint_{V} \nabla\cdot\bigl(\nabla\times \vec{F}\bigr)\,dV.
Como \nabla\cdot(\nabla\times\vec{F})=0 em toda vizinhança de S, o integrando é identicamente zero.

Passo 4

Concluímos que
\iint_{S} \bigl(\nabla\times \vec{F}\bigr)\cdot \mathbf{n}\,dS = \iiint_{V} 0 \,dV = 0.
Portanto, o fluxo do rotacional de \vec{F} através de qualquer concha esférica fechada é necessariamente igual a zero.

Resposta

O fluxo do rotacional de \vec{F} através da superfície esférica é igual a zero.

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