Exercício 1. Considere uma carga puntiforme Q movendo-se com velocidade v em uma região com campo elétrico \mathbf{E} e densidade de fluxo magnético \mathbf{B}.
a) Qual é a expressão para a força de Lorentz que atua sobre essa carga? Discuta a direção e o sentido dessa força em relação aos vetores v e B.
b) Explique como um seletor de velocidade utiliza campos elétricos e magnéticos para permitir a passagem apenas de partículas com uma velocidade específica.
c) Uma partícula com carga q=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C} e massa m=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} (elétron) entra em uma região onde existe uma densidade de campo magnético uniforme \mathbf{B}=0.5 \mathbf{a}_{\mathbf{y}} \mathrm{T}. Se a velocidade inicial da partícula é \mathbf{v}=\left(2 \mathbf{a}_{\mathbf{x}}+3 \mathbf{a}_{\mathbf{z}}\right) \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}, calcule a força magnética sobre a partícula.
d) Determine o raio da trajetória circular que a partícula descrita no item (c) seguiria se a sua velocidade fosse puramente no plano x z e perpendicular à densidade de campo magnético \mathbf{B}.
Passo 1
O enunciado trata de uma carga puntiforme (de carga Q ou q) movendo-se com velocidade \mathbf{v} num campo elétrico \mathbf{E} e num campo magnético \mathbf{B}. O conteúdo é a força de Lorentz e suas aplicações:
(a) expressão vetorial da força de Lorentz e discussão de direção;
(b) princípio de funcionamento do seletor de velocidade;
(c) cálculo da força magnética num elétron com dados numéricos;
(d) raio de trajetória circular em campo magnético.
Passo 2
Para (a), a força total sobre a carga é a soma da força elétrica e da força magnética. Em notação vetorial:
A componente Q\,\mathbf{E} atua na mesma direção de \mathbf{E} (ou sentido oposto, se Q<0).
A componente Q\,(\mathbf{v}\times\mathbf{B}) é perpendicular tanto a \mathbf{v} quanto a \mathbf{B}, seguindo a regra da mão direita (se Q>0) ou invertida (se Q<0).
Passo 4
Para (b), o seletor de velocidade combina campos elétrico \mathbf{E} e magnético \mathbf{B} uniformes e perpendiculares. A condição de trajetória retilínea não desviada é
r = \frac{m\,v_\perp}{|q|\,B} = \frac{9.1\times10^{-31}\times(\sqrt{13}\times10^{6})}{1.6\times10^{-19}\times0.5} \approx 4.1\times10^{-5}\,\mathrm{m}.
Resposta
(a) \displaystyle \mathbf{F}=Q\,\mathbf{E}+Q\,(\mathbf{v}\times\mathbf{B}). A parte elétrica é paralela a \mathbf{E} e a parte magnética é perpendicular a \mathbf{v} e \mathbf{B}, seguindo a regra da mão direita (invertida para Q<0).
(b) No seletor de velocidade escolhe-se \mathbf{E}\perp\mathbf{B}; a condição Q\,\mathbf{E}+Q\,(\mathbf{v}\times\mathbf{B})=\mathbf{0} implica v=E/B, então só partículas com essa velocidade não são desviadas.
(c) \displaystyle \mathbf{F}_m = 2.4\times10^{-13}\,\mathbf{a}_x \;-\;1.6\times10^{-13}\,\mathbf{a}_z\;\mathrm{N}.
(d) \displaystyle r\approx4.1\times10^{-5}\,\mathrm{m}.