Exercício 1. Considere uma carga puntiforme Q movendo-se com velocidade v em uma região com campo elétrico \mathbf{E} e densidade de fluxo magnético \mathbf{B}.
a) Qual é a expressão para a força de Lorentz que atua sobre essa carga? Discuta a direção e o sentido dessa força em relação aos vetores v e B.
b) Explique como um seletor de velocidade utiliza campos elétricos e magnéticos para permitir a passagem apenas de partículas com uma velocidade específica.
c) Uma partícula com carga q=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C} e massa m=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} (elétron) entra em uma região onde existe uma densidade de campo magnético uniforme \mathbf{B}=0.5 \mathbf{a}_{\mathbf{y}} \mathrm{T}. Se a velocidade inicial da partícula é \mathbf{v}=\left(2 \mathbf{a}_{\mathbf{x}}+3 \mathbf{a}_{\mathbf{z}}\right) \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}, calcule a força magnética sobre a partícula.
d) Determine o raio da trajetória circular que a partícula descrita no item (c) seguiria se a sua velocidade fosse puramente no plano x z e perpendicular à densidade de campo magnético \mathbf{B}.

Passo 1

O enunciado trata de uma carga puntiforme (de carga Q ou q) movendo-se com velocidade \mathbf{v} num campo elétrico \mathbf{E} e num campo magnético \mathbf{B}. O conteúdo é a força de Lorentz e suas aplicações:
  • (a) expressão vetorial da força de Lorentz e discussão de direção;
  • (b) princípio de funcionamento do seletor de velocidade;
  • (c) cálculo da força magnética num elétron com dados numéricos;
  • (d) raio de trajetória circular em campo magnético.

Passo 2

Para (a), a força total sobre a carga é a soma da força elétrica e da força magnética. Em notação vetorial:
\mathbf{F} \;=\; Q\,\mathbf{E} \;+\; Q\,\bigl(\mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr).
Este é o enunciado da força de Lorentz.

Passo 3

Discussão de direção e sentido em (a):
  • A componente Q\,\mathbf{E} atua na mesma direção de \mathbf{E} (ou sentido oposto, se Q<0).
  • A componente Q\,(\mathbf{v}\times\mathbf{B}) é perpendicular tanto a \mathbf{v} quanto a \mathbf{B}, seguindo a regra da mão direita (se Q>0) ou invertida (se Q<0).

Passo 4

Para (b), o seletor de velocidade combina campos elétrico \mathbf{E} e magnético \mathbf{B} uniformes e perpendiculares. A condição de trajetória retilínea não desviada é
Q\,\mathbf{E} + Q\,(\mathbf{v}\times\mathbf{B}) = \mathbf{0} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{v} = \frac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}}{B^2} \;\xrightarrow{\mathbf{E}\perp\mathbf{B}}\; v = \frac{E}{B}.
Assim, apenas partículas com v=E/B atravessam sem deflexão; velocidades diferentes resultam em força líquida não nula e, portanto, desvio.

Passo 5

Para (c), temos um elétron com carga q=-1.6\times10^{-19}\mathrm{C} e
\mathbf{v} = (2\,\mathbf{a}_x + 3\,\mathbf{a}_z)\times10^{6}\,\mathrm{m/s}, \quad \mathbf{B} = 0.5\,\mathbf{a}_y\;\mathrm{T}.
Calculamos \mathbf{v}\times\mathbf{B}:
\mathbf{v}\times\mathbf{B} = \bigl(2\times10^{6}\,\mathbf{a}_x +3\times10^{6}\,\mathbf{a}_z\bigr)\times (0.5\,\mathbf{a}_y) = -1.5\times10^{6}\,\mathbf{a}_x \;+\;1.0\times10^{6}\,\mathbf{a}_z.
Logo a força magnética é
\mathbf{F}_m = q\,(\mathbf{v}\times\mathbf{B}) = -1.6\times10^{-19} \bigl(-1.5\times10^{6}\,\mathbf{a}_x +1.0\times10^{6}\,\mathbf{a}_z\bigr) = 2.4\times10^{-13}\,\mathbf{a}_x \;-\;1.6\times10^{-13}\,\mathbf{a}_z \;\mathrm{N}.

Passo 6

Para (d), se \mathbf{v}\perp\mathbf{B} e tem módulo
v_\perp = \sqrt{(2\times10^{6})^2 + (3\times10^{6})^2} = \sqrt{13}\times10^{6}\,\mathrm{m/s},
o movimento é circular de raio
r = \frac{m\,v_\perp}{|q|\,B} = \frac{9.1\times10^{-31}\times(\sqrt{13}\times10^{6})}{1.6\times10^{-19}\times0.5} \approx 4.1\times10^{-5}\,\mathrm{m}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{F}=Q\,\mathbf{E}+Q\,(\mathbf{v}\times\mathbf{B}). A parte elétrica é paralela a \mathbf{E} e a parte magnética é perpendicular a \mathbf{v} e \mathbf{B}, seguindo a regra da mão direita (invertida para Q<0).
(b) No seletor de velocidade escolhe-se \mathbf{E}\perp\mathbf{B}; a condição Q\,\mathbf{E}+Q\,(\mathbf{v}\times\mathbf{B})=\mathbf{0} implica v=E/B, então só partículas com essa velocidade não são desviadas.
(c) \displaystyle \mathbf{F}_m = 2.4\times10^{-13}\,\mathbf{a}_x \;-\;1.6\times10^{-13}\,\mathbf{a}_z\;\mathrm{N}.
(d) \displaystyle r\approx4.1\times10^{-5}\,\mathrm{m}.

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