Exercício 3. Considere duas correntes paralelas e longas, separadas por uma distância d.
a) Explique por que existe uma força entre esses dois condutores e discuta a natureza (atração ou repulsão) dessa força dependendo do sentido das correntes.
b) Qual a importância histórica da definição do Ampere baseada na força entre condutores paralelos?
c) Dois fios longos e paralelos estão separados por 10 cm . O primeiro fio transporta uma corrente de 10 A e o segundo uma corrente de 20 A , ambas no mesmo sentido. Calcule a força por unidade de comprimento entre os fios.
d) Se as correntes nos fios do item (c) fluírem em sentidos opostos, qual será a magnitude e o sentido da força por unidade de comprimento entre eles?

Passo 1

O enunciado trata de duas correntes elétricas paralelas, longas e separadas por uma distância d. Pede:
a) motivo da existência de força entre os condutores e natureza (atração ou repulsão) conforme o sentido das correntes;
b) importância histórica da definição do ampere baseada nessa força;
c) cálculo da força por unidade de comprimento para I_{1}=10\,\mathrm{A}, I_{2}=20\,\mathrm{A}, d=0,10\,\mathrm{m} com correntes no mesmo sentido;
d) mesma situação, mas com correntes em sentidos opostos.
Usaremos a Lei de Biot–Savart para achar o campo magnético criado por um fio e a força magnética \mathbf{F}=I\,\mathbf{l}\times\mathbf{B} sobre o outro, além da definição histórica do ampere.

Passo 2

Para cada fio longo e retilíneo, a Lei de Biot–Savart dá o campo magnético a uma distância r:
B(r)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi\,r}.
Esse campo atua sobre o outro fio, gerando uma força por unidade de comprimento
\frac{F}{L}=I_{2}B(d)=I_{2}\,\frac{\mu_{0}I_{1}}{2\pi\,d}.
O sinal (atração ou repulsão) vem do produto vetorial em \mathbf{F}=I_{2}\mathbf{l}\times\mathbf{B}:
– se as correntes têm mesmo sentido, \mathbf{F} aponta para dentro (atração);
– se têm sentidos opostos, \mathbf{F} aponta para fora (repulsão).

Passo 3

Historicamente, o ampere foi definido exatamente a partir dessa força: é a corrente constante que, mantida em dois condutores paralelos, retilíneos, de comprimento infinito e separados por 1\,\mathrm{m} no vácuo, produz entre eles uma força de 2\times10^{-7}\,\mathrm{N/m}. Assim, tornou-se possível reproduzir o ampere em laboratório medindo a força magnética entre fios.

Passo 4

No caso I_{1}=10\,\mathrm{A}, I_{2}=20\,\mathrm{A}, d=0,10\,\mathrm{m} e correntes no mesmo sentido, a força por unidade de comprimento é
\frac{F}{L} =\frac{\mu_{0}I_{1}I_{2}}{2\pi\,d} =\frac{4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m/A}\;\times10\;\times20}{2\pi\;\times0,10} =4\times10^{-4}\,\mathrm{N/m},
e, como os sentidos coincidem, atração.

Passo 5

Se as correntes forem de mesmo módulo porém em sentidos opostos, o cálculo do módulo \tfrac{F}{L} permanece 4\times10^{-4}\,\mathrm{N/m}, mas a força é de repulsão entre os fios.

Resposta

(a) A força existe porque cada fio cria um campo magnético que atua sobre o outro pelo efeito de Lorentz, e o produto vetorial determina se é atração (mesmo sentido) ou repulsão (sentidos opostos).
(b) A definição do ampere baseou-se nessa força, tornando-o uma unidade reproduzível em laboratório: é a corrente que, em dois condutores paralelos a 1\,\mathrm{m} de distância, gera 2\times10^{-7}\,\mathrm{N/m}.
(c) \displaystyle\frac{F}{L}=4\times10^{-4}\,\mathrm{N/m} de atração.
(d) \displaystyle\frac{F}{L}=4\times10^{-4}\,\mathrm{N/m} de repulsão.

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