Exercício 9. Considere o espaço vetorial real \left(\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}),+, \cdot\right) com o produto interno \langle p(t), q(t)\rangle= \int_{0}^{1} p(t) q(t) \mathrm{d} t.
(a) Utilizando o processo de Gram-Schmidt, ortonormalizar a base \left\{q_{0}, q_{1}, q_{2}\right\}, onde q_{0}(t)= 1, q_{1}(t)=1+t e q_{2}(t)=2 t^{2}, para t \in \mathbb{R}.
(b) Achar o complemento ortogonal do subespaço W=\left[r_{0}, r_{1}\right] onde r_{0}(t)=5 e r_{1}(t)=1+t, para t \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado trata de ortonormalizar uma base de polinômios de grau até 2 no espaço \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) com produto interno
\langle p,q\rangle = \int_{0}^{1} p(t)\,q(t)\,\mathrm{d}t
usando o processo de Gram–Schmidt, e em seguida encontrar o complemento ortogonal de um subespaço de dimensão 2. Vamos supor um polinômio geral de grau até 2 e aplicar definições de ortogonalidade.

Passo 2

Começamos com q_{0}(t)=1. Seu comprimento é
\|q_{0}\|^{2} = \langle 1,1\rangle = \int_{0}^{1}1\,\mathrm{d}t = 1,
logo o primeiro vetor ortonormal é
u_{0}(t) = \frac{q_{0}(t)}{\|q_{0}\|} = 1.

Passo 3

Definimos
v_{1}(t) = q_{1}(t) - \langle q_{1},u_{0}\rangle\,u_{0}(t) = (1+t) - \bigl[\int_{0}^{1}(1+t)\,\mathrm{d}t\bigr]\cdot1 = 1+t - \tfrac{3}{2} = t - \tfrac12.
Calculamos o comprimento de v_{1}:
\|v_{1}\|^{2} = \int_{0}^{1}\Bigl(t-\tfrac12\Bigr)^{2}\mathrm{d}t = \tfrac{1}{12},
portanto
u_{1}(t) = \frac{v_{1}(t)}{\|v_{1}\|} = (t-\tfrac12)\,\frac{1}{\sqrt{1/12}} = 2\sqrt{3}\,\bigl(t-\tfrac12\bigr).

Passo 4

Agora
v_{2}(t) = q_{2}(t) - \langle q_{2},u_{0}\rangle\,u_{0}(t) - \langle q_{2},u_{1}\rangle\,u_{1}(t).
Calculamos
\langle q_{2},u_{0}\rangle = \int_{0}^{1}2t^{2}\mathrm{d}t = \tfrac{2}{3}
e
\langle q_{2},u_{1}\rangle = \int_{0}^{1}2t^{2}\cdot2\sqrt{3}(t-\tfrac12)\,\mathrm{d}t = \tfrac{\sqrt{3}}{3}.
Logo
v_{2}(t) = 2t^{2} - \tfrac{2}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}\,2\sqrt{3}(t-\tfrac12) =2t^{2}-2t+\tfrac{1}{3}.
O comprimento de v_{2} é
\|v_{2}\|^{2} = \int_{0}^{1}\bigl(2t^{2}-2t+\tfrac13\bigr)^{2}\mathrm{d}t = \tfrac{1}{45},
então
u_{2}(t) = \frac{v_{2}(t)}{\|v_{2}\|} = \bigl(2t^{2}-2t+\tfrac13\bigr)\,3\sqrt{5} =6\sqrt{5}\,t^{2}-6\sqrt{5}\,t+\sqrt{5}.

Passo 5

Para o complemento ortogonal de W=\mathrm{span}\{r_{0},r_{1}\} com r_{0}(t)=5 e r_{1}(t)=1+t, tomamos um polinômio geral
p(t)=a + b\,t + c\,t^{2}
e impomos
\langle p,r_{0}\rangle=0 e \langle p,r_{1}\rangle=0.

Passo 6

As condições dão
\langle p,5\rangle =5\!\!\int_{0}^{1}(a + b\,t + c\,t^{2})\mathrm{d}t =5\Bigl(a + \tfrac{b}{2} + \tfrac{c}{3}\Bigr)=0 \;\Longrightarrow\; a + \tfrac{b}{2} + \tfrac{c}{3}=0,
\langle p,1+t\rangle =\int_{0}^{1}(a+bt+ct^{2})(1+t)\mathrm{d}t=0 \;\Longrightarrow\; \tfrac{3}{2}a + \tfrac{5}{6}b + \tfrac{7}{12}c=0.
Resolvendo esse sistema fica c=6a, b=-6a. Assim
p(t)=a\bigl(1 -6t +6t^{2}\bigr),
e o complemento ortogonal é a reta gerada por 1-6t+6t^{2}.

Resposta

Ortonormalização:
u_{0}(t) = 1,\quad u_{1}(t) = 2\sqrt{3}\,\bigl(t - \tfrac12\bigr),\quad u_{2}(t) = 6\sqrt{5}\,t^{2}-6\sqrt{5}\,t+\sqrt{5}.
Complemento ortogonal de W:
W^{\perp} = \mathrm{span}\bigl\{\,1 - 6t + 6t^{2}\bigr\}.

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