Exercício 9. Considere o espaço vetorial real
com o produto interno
.
(a) Utilizando o processo de Gram-Schmidt, ortonormalizar a base
, onde
e
, para
.
(b) Achar o complemento ortogonal do subespaço
onde
e
, para
.
(a) Utilizando o processo de Gram-Schmidt, ortonormalizar a base
(b) Achar o complemento ortogonal do subespaço
Passo 1
O enunciado trata de ortonormalizar uma base de polinômios de grau até 2 no espaço
com produto interno
usando o processo de Gram–Schmidt, e em seguida encontrar o complemento ortogonal de um subespaço de dimensão 2. Vamos supor um polinômio geral de grau até 2 e aplicar definições de ortogonalidade.
Passo 2
Começamos com
. Seu comprimento é
logo o primeiro vetor ortonormal é
Passo 3
Definimos
Calculamos o comprimento de
:
portanto
Passo 4
Agora
Calculamos
e
e
Logo
O comprimento de
é
então
Passo 5
Para o complemento ortogonal de
com
e
, tomamos um polinômio geral
e impomos
e
.
Passo 6
As condições dão
Resolvendo esse sistema fica
,
. Assim
e o complemento ortogonal é a reta gerada por
.
Resposta
Ortonormalização:
Complemento ortogonal de
: