Exercício 4. Considere o mesmo cenário do Exercício 3: a bola A é solta do topo de um prédio de altura h no mesmo instante que a bola B é lançada verticalmente do chão. Suponha agora que a colisão ocorre quando ambas as bolas estão se movendo no mesmo sentido e o módulo da velocidade da bola A é quatro vezes maior que o da bola B. Em qual altura a colisão acontece?

Passo 1

O enunciado diz que a bola A parte do repouso do topo de um prédio de altura h e cai sob a ação da gravidade g, enquanto a bola B é lançada verticalmente para cima do chão com velocidade inicial v_0. Ambas são liberadas ao mesmo tempo e colidem quando já se movem no mesmo sentido (para baixo), e nesse instante o módulo de v_A é quatro vezes o de v_B. Vamos usar cinemática uniformemente acelerada para queda livre e lançamento vertical, com \displaystyle v_A(t)= -\,g\,t, \displaystyle v_B(t)= v_0 - g\,t,
e as posições \displaystyle y_A(t)= h - \tfrac12\,g\,t^2, \displaystyle y_B(t)= v_0\,t - \tfrac12\,g\,t^2.

Passo 2

No instante de colisão ambas caem para baixo, logo v_B(t)<0 e o módulo de v_B é
|v_B| = -(v_0 - g\,t)= g\,t - v_0.
A condição dada é
|v_A| = 4\,|v_B| \quad\Longrightarrow\quad g\,t = 4\bigl(g\,t - v_0\bigr).
Distribuindo e isolando t,
g\,t = 4g\,t - 4v_0 \quad\Longrightarrow\quad 3g\,t = 4v_0 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{4\,v_0}{3\,g}.

Passo 3

Para que haja colisão é preciso y_A(t)=y_B(t). Como
y_A(t)-y_B(t) = \bigl(h - \tfrac12g\,t^2\bigr) - \bigl(v_0\,t - \tfrac12g\,t^2\bigr) = h - v_0\,t,
temos h = v_0\,t, ou seja
t = \frac{h}{v_0}.
Igualando às duas expressões de t:
\frac{h}{v_0} = \frac{4\,v_0}{3\,g} \quad\Longrightarrow\quad v_0^2 = \frac{3g\,h}{4}.

Passo 4

Agora calculamos a altura de colisão y usando y_A(t)=h - \tfrac12g\,t^2 e t = h/v_0. Como
t = \frac{h}{\sqrt{\tfrac{3g\,h}{4}}} = \frac{2h}{\sqrt{3g\,h}},
temos
\tfrac12\,g\,t^2 = \tfrac12\,g\;\frac{4h^2}{3g\,h} = \frac{2h}{3},
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y = h - \frac{2h}{3} = \frac{h}{3}.

Resposta

A colisão ocorre à altura \displaystyle \frac{h}{3} acima do chão.

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