Exercício 5. Uma partícula executa movimento harmônico simples (MHS) quando sua posição pode ser descrita por uma função da forma
com
a amplitude e
a frequência angular e phi uma constante de fase.
Considere uma partícula cuja posição é dada por:
com
e
em metros,
em segundos e
em
. Determine:
a) A velocidade da partícula em função do tempo.
b) A velocidade máxima da partícula.
c) A aceleração da partícula em função do tempo.
d) A aceleração máxima da partícula.
e) Explique como a aceleração e a posição da partícula estão relacionadas.
f) Sabendo que
e
, esboce os gráficos da posição, velocidade e aceleração no intervalo
.
Considere uma partícula cuja posição é dada por:
a) A velocidade da partícula em função do tempo.
b) A velocidade máxima da partícula.
c) A aceleração da partícula em função do tempo.
d) A aceleração máxima da partícula.
e) Explique como a aceleração e a posição da partícula estão relacionadas.
f) Sabendo que
Passo 1
O enunciado considera um Movimento Harmônico Simples (MHS) descrito por
e pede:
a) a velocidade , b) o valor máximo de
, c) a aceleração
, d) o valor máximo de
, e) a relação entre
e
, f) o esboço de
,
e
para
,m e
,rad/s no intervalo
,s. Para resolver vamos usar derivação de funções trigonométricas, identificar amplitudes e explorar o conceito de fase e período.
a) a velocidade
Passo 2
Para achar a velocidade derivamos
em relação a
. Sabendo que
e aplicando a regra da cadeia, obtemos
Passo 3
A velocidade máxima em valor absoluto corresponde à amplitude da função
. Como
varia entre
e
, concluímos
Passo 4
Para a aceleração derivamos
. Como
, vem
Note que isso pode ser escrito como
.
Passo 5
A amplitude de
é
, pois
varia entre
e
. Logo
Passo 6
A relação entre aceleração e posição fica explícita em
Isto mostra que a aceleração é sempre proporcional ao deslocamento e aponta no sentido oposto a
, característica de um movimento com força restauradora.
Passo 7
No caso
,m e
,rad/s temos período
Montamos uma tabela de valores em passos de
,s (que é
):
Basta ligar esses pontos por curvas suaves:
-
é cosseno de amplitude 2 e período 4 s, com máximo em . -
é seno negativo de amplitude , cruzando zero em . -
é cosseno negativo de amplitude , máximo negativo em .
Dessa forma você obtém os esboços de
,
e
ao longo de dois ciclos completos.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) , ou seja, aceleração é proporcional e oposta ao deslocamento.
(f) Período ,s;
é
de amplitude 2,
é
de amplitude
,
é
de amplitude
; veja a tabela do passo 7 e ligue os pontos com curvas suaves para esboçar.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) Período