Exercício 5. Uma partícula executa movimento harmônico simples (MHS) quando sua posição pode ser descrita por uma função da forma
x(t)=x_{m} \cos (\omega t+\varphi)
com x_{m} a amplitude e \omega a frequência angular e phi uma constante de fase.
Considere uma partícula cuja posição é dada por:
x(t)=x_{m} \cos (\omega t)
com x e x_{m} em metros, t em segundos e \omega em \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}. Determine:
a) A velocidade da partícula em função do tempo.
b) A velocidade máxima da partícula.
c) A aceleração da partícula em função do tempo.
d) A aceleração máxima da partícula.
e) Explique como a aceleração e a posição da partícula estão relacionadas.
f) Sabendo que x_{m}=2 \mathrm{~m} e \omega=\frac{\pi}{2} \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}, esboce os gráficos da posição, velocidade e aceleração no intervalo t=[0 \mathrm{~s} ; 8 \mathrm{~s}].

Passo 1

O enunciado considera um Movimento Harmônico Simples (MHS) descrito por
x(t)=x_{m}\cos(\omega t)
e pede:
a) a velocidade v(t), b) o valor máximo de v, c) a aceleração a(t), d) o valor máximo de a, e) a relação entre a e x, f) o esboço de x, v e a para x_{m}=2,m e \omega=\tfrac{\pi}{2},rad/s no intervalo t\in[0,8],s. Para resolver vamos usar derivação de funções trigonométricas, identificar amplitudes e explorar o conceito de fase e período.

Passo 2

Para achar a velocidade derivamos x(t) em relação a t. Sabendo que \tfrac{d}{dt}\bigl[\cos(\omega t)\bigr]=-\omega\sin(\omega t) e aplicando a regra da cadeia, obtemos
v(t)=\frac{dx}{dt} =-x_{m}\,\omega\,\sin(\omega t).

Passo 3

A velocidade máxima em valor absoluto corresponde à amplitude da função -x_{m}\omega\sin(\omega t). Como \sin varia entre -1 e 1, concluímos
v_{\max}=x_{m}\,\omega.

Passo 4

Para a aceleração derivamos v(t). Como \tfrac{d}{dt}[-\sin(\omega t)]=-\omega\cos(\omega t), vem
a(t)=\frac{dv}{dt} =-x_{m}\,\omega^{2}\,\cos(\omega t).
Note que isso pode ser escrito como a(t)=-\omega^{2}x(t).

Passo 5

A amplitude de a(t) é x_{m}\omega^{2}, pois \cos varia entre -1 e 1. Logo
a_{\max}=x_{m}\,\omega^{2}.

Passo 6

A relação entre aceleração e posição fica explícita em
a(t)=-\omega^{2}\,x(t).
Isto mostra que a aceleração é sempre proporcional ao deslocamento e aponta no sentido oposto a x(t), característica de um movimento com força restauradora.

Passo 7

No caso x_{m}=2,m e \omega=\tfrac{\pi}{2},rad/s temos período
T=\frac{2\pi}{\omega} =\frac{2\pi}{\pi/2} =4\text{ s}.
Montamos uma tabela de valores em passos de 1,s (que é T/4):
\begin{array}{c|c|c|c} t\text{ (s)} & x(t)\text{ (m)} & v(t)\text{ (m/s)} & a(t)\text{ (m/s}^2\text{)}\\hline 0 & 2 & 0 & -\tfrac{\pi^{2}}{2}\\\\ 1 & 0 & -\pi & 0\\\\ 2 & -2 & 0 & +\tfrac{\pi^{2}}{2}\\\\ 3 & 0 & +\pi & 0\\\\ 4 & 2 & 0 & -\tfrac{\pi^{2}}{2}\\\\ 5 & 0 & -\pi & 0\\\\ 6 & -2 & 0 & +\tfrac{\pi^{2}}{2}\\\\ 7 & 0 & +\pi & 0\\\\ 8 & 2 & 0 & -\tfrac{\pi^{2}}{2} \end{array}
Basta ligar esses pontos por curvas suaves:
  • x(t) é cosseno de amplitude 2 e período 4 s, com máximo em t=0,4,8.
  • v(t) é seno negativo de amplitude \pi, cruzando zero em t=0,2,4.
  • a(t) é cosseno negativo de amplitude \tfrac{\pi^{2}}{2}, máximo negativo em t=0,4,8.
Dessa forma você obtém os esboços de x, v e a ao longo de dois ciclos completos.

Resposta

(a) v(t)=-x_{m}\,\omega\,\sin(\omega t).
(b) v_{\max}=x_{m}\,\omega.
(c) a(t)=-x_{m}\,\omega^{2}\,\cos(\omega t).
(d) a_{\max}=x_{m}\,\omega^{2}.
(e) a(t)=-\omega^{2}\,x(t), ou seja, aceleração é proporcional e oposta ao deslocamento.
(f) Período T=4,s; x(t) é \cos de amplitude 2, v(t) é -\sin de amplitude \pi, a(t) é -\cos de amplitude \tfrac{\pi^{2}}{2}; veja a tabela do passo 7 e ligue os pontos com curvas suaves para esboçar.

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