Exercício 4 Sendo P a interseção da reta r: x+y-4=0 e o eixo das abscissas e s a reta de equação 3 x-4 y+10=0, determine:
a) as coordenadas do ponto P;
b) a distância entre P e s.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta r\colon x+y-4=0 e pede o ponto P onde r intercepta o eixo das abscissas (que é a reta y=0). Em seguida, temos a reta s\colon 3x-4y+10=0 e precisamos calcular a distância de P até s. Para isso, vamos usar:
  1. Interseção com o eixo x fazendo y=0.
  2. Fórmula da distância de um ponto (x_0,y_0) até uma reta Ax+By+C=0:
d = \frac{\bigl|A\,x_0 + B\,y_0 + C\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.

Passo 2

Para achar P, impomos y=0 na equação de r:
x + 0 - 4 = 0
Logo x=4. Portanto
P = (4,0).

Passo 3

Agora queremos a distância de P=(4,0) até a reta s\colon 3x - 4y + 10 = 0. Aqui A=3, B=-4, C=10, x_0=4 e y_0=0.

Passo 4

Aplicando a fórmula da distância:
d = \frac{\bigl|3\cdot4 + (-4)\cdot0 + 10\bigr|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|12 + 0 + 10|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{22}{5}.

Resposta

(a) P = (4,0)
(b) \displaystyle \frac{22}{5}

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