Exercício 5 Considere os conjuntos
  • A=1,2,3,4,5,6,7,8,9,
  • C=1,3,5,7,9,
  • E=3,5,
  • B=2,4,6,8,
  • D=3,4,5,
    verifique quais destes conjuntos podem substituir o conjunto X nas seguintes afirmações:
    X subset A e X not subset C

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
A=1,2,3,4,5,6,7,8,9,; B=2,4,6,8,; C=1,3,5,7,9,; D=3,4,5,; E=3,5
e pede todos os candidatos X tais que
Xsubset A e Xnotsubset C
O conteúdo aqui é teoria de conjuntos, em particular as definições de subconjunto e não-subconjunto.

Passo 2

Relembremos as definições:
  1. Xsubset A significa que todo elemento de X está em A, ou seja, forall x,(xin Ximplies xin A)
  2. Xnotsubset C significa que X não é subconjunto de C, ou seja, exists x,(xin X;wed>=;xnotin C)

Passo 3

Verificando a primeira condição Xsubset A: todos os conjuntos dados ( A,B,C,D,E) têm elementos apenas dentre 1,dots,9, logo
Asubset A,;Bsubset A,;Csubset A,;Dsubset A,;Esubset A
Se interpretarmos “ subset” como subconjunto não-estrito, então todos passam; se for estrito, excluímos A por igualdade. De qualquer forma, os demais B,C,D,E satisfazem.

Passo 4

Para Xnotsubset C é preciso que X contenha ao menos um elemento que não esteja em
C=1,3,5,7,9
Os elementos fora de C são 2,4,6,8. Logo, só pode funcionar um X que tenha pelo menos um destes.

Passo 5

Testando cada conjunto:
  • B=2,4,6,8 contém elementos (por exemplo 2) que não estão em C. Logo Bnotsubset C. Como Bsubset A, B serve.
  • D=3,4,5 contém 4notin C, então Dnotsubset C. E Dsubset A, logo D serve.
  • A (se permitido como subconjunto não-estrito) também contém 2notin C, mas costuma exigir subconjunto próprio, então geralmente não se escolhe A.
  • Csubset C falha em Xnotsubset C.
  • E=3,5 está inteiramente em C, falha em Xnotsubset C.

Resposta

Os conjuntos que podem substituir X são B e D.

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