Exercício 2 Considere os conjuntos
A=1,2,3 e P(A)=emptyset,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3
(a) Verifique se são falsas ou verdadeiras as seguintes afirmações:
(a) 2 in A ;
(a₂) 11 in A;
(a₃) 1 in P(A) ;
(a₄) 1,3 subset A;
(a₅) 2,3 in P(A) ;
(a₆) 1,3 in A;
(b) Como foi construído o conjunto P(A) ?

Passo 1

O enunciado dá
A = 1,2,3
e
P(A) = emptyset,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3
Na parte (a) devemos verificar se cada afirmação é verdadeira ou falsa, usando as definições de “ in” (pertence) e “ subset” (subconjunto). Na parte (b) precisamos explicar como se construiu o conjunto das partes P(A).

Passo 2

Para ( a1) e ( a2) usamos a definição de elemento: como A=1,2,3, temos
– ( a1) 2in A é verdadeira.
– ( a2) 11notin A é falsa.

Passo 3

Para ( a3) e ( a5) lembramos que P(A) contém exatamente os subconjuntos de A. Logo
– ( a3) 1notin P(A) (falsa), pois elementos de P(A) são conjuntos, não números.
– ( a5) 2,3in P(A) (verdadeira), pois 2,3 é subconjunto de A.

Passo 4

Para ( a4) e ( a6) comparamos 1,3 a A:
– ( a4) 1,3subset A é verdadeira, já que 1in A e 3in A.
– ( a6) 1,3notin A é falsa, pois elementos de A são apenas números, não conjuntos.

Passo 5

O conjunto P(A) é formado listando todos os subconjuntos de A, desde o conjunto vazio até o próprio A. Em outras palavras, para cada elemento de A escolhe-se incluí-lo ou não, gerando todas as combinações possíveis.

Resposta

( a1) Verdadeira.
( a2) Falsa.
( a3) Falsa.
( a4) Verdadeira.
( a5) Verdadeira.
( a6) Falsa.
(b) O conjunto P(A) foi construído listando todos os subconjuntos de A, ou seja, todas as combinações de inclusão/exclusão de seus elementos, do conjunto vazio até o conjunto A inteiro.

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