Exercício 3 Considere a curva gamma. Obtenha a reta tangente ao traço de gamma(1) no ponto .

Passo 1

O enunciado quer a reta tangente ao traço da curva gamma(t)=(t,t,t^2) no ponto gamma(1). O conteúdo envolvido é derivada vetorial de curvas em R^3 para obter o vetor tangente e, em seguida, montar a equação da reta usando esse vetor e o ponto dado.

Passo 2

Para achar o vetor tangente, vamos derivar gamma(t) componente a componente. Como gamma(t)=(t,t,t^2), temos
gamma'(t)=l(1,1,2tr)

Passo 3

Agora avaliamos o vetor gamma'(t) em t=1. Isso dá
gamma'(1)=(1,1,2cdot1)=(1,1,2)

Passo 4

Precisamos também do ponto em que queremos a reta tangente. Como gamma(1)=(1,1,1^2)=(1,1,1), esse é o ponto-base.

Passo 5

Com o ponto-base (1,1,1) e o vetor diretor (1,1,2), a forma paramétrica da reta tangente é
r(s)=(1,1,1)+s,(1,1,2)=(1+s,,1+s,,1+2s)

Passo 6

Se quisermos a forma simétrica, basta eliminar o parâmetro s:
x-11=y-11=z-12

Resposta

A reta tangente é dada em forma paramétrica por
r(s)=(1+s,,1+s,,1+2s)
ou, em forma simétrica,
x-11=y-11=z-12

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