Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

O exercício nos dá a equação diferencial
x,y,(1 + x,y^2)dydx = 1,
com condição inicial y(1)=0. Isso caracteriza, se invertermos a variável para x(y), uma equação de Bernoulli em x como função de y.

Passo 2

Começamos revertendo a derivada. Da equação original temos
dydx = 1x,y,(1 + x,y^2)
Invertendo, obtemos
dxdy = x,y,(1 + x,y^2) = x,y + x^2,y^3
Essa é uma equação de Bernoulli do tipo
dxdy - y,x = y^3,x^2,
com expoente n=2.

Passo 3

Para linearizar aplicamos a substituição típica de Bernoulli: definimos
u = x^1-2 = x^-1
ou seja u = 1/x. Então
dudy = -x^-2dxdy
Substituindo dx/dy = x,y + x^2,y^3 e dividindo tudo por x^2, chega-se à equação linear
dudy + y,u = -y^3

Passo 4

Agora resolvemos essa linear usando fator integrante
mu(y) = e^integral y,dy = e^y^2/2
Multiplicando tudo por e^y^2/2 obtemos
ddyl(u,e^y^2/2r) = -y^3 e^y^2/2
Integramos em y:
u e^y^2/2 = integral -y^3 e^y^2/2,dy + C
Fazendo a mudança t=y^2/2, chega-se a
nu e^y^2/2 = e^y^2/2(2 - y^2) + C
ou seja
u = 2 - y^2 + C e^-y^2/2

Passo 5

Voltando a x pela relação u = 1/x, temos
1x = 2 - y^2 + C e^-y^2/2
e portanto
x = 12 - y^2 + C e^-y^2/2
Usando a condição inicial y(1)=0 (isto é, quando y=0 temos x=1), obtemos
1 = 12 - 0 + CRightarrow C = -1

Passo 6

Substituindo C=-1, a solução implícita final fica
1x = 2 - y^2 - e^-y^2/2
ou, equivalentemente,
xl(2 - y^2 - e^-y^2/2r) = 1

Resposta

A solução implícita que satisfaz y(1)=0 é
1x = 2 - y^2 - e^-y^2/2,
ou seja
xl(2 - y^2 - e^-y^2/2r) = 1

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