Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
O exercício nos dá a equação diferencial
com condição inicial
. Isso caracteriza, se invertermos a variável para
, uma equação de Bernoulli em
como função de
.
Passo 2
Começamos revertendo a derivada. Da equação original temos
Invertendo, obtemos
Essa é uma equação de Bernoulli do tipo
com expoente
.
Passo 3
Para linearizar aplicamos a substituição típica de Bernoulli: definimos
ou seja
. Então
Substituindo
e dividindo tudo por
, chega-se à equação linear
Passo 4
Agora resolvemos essa linear usando fator integrante
Multiplicando tudo por
obtemos
Integramos em
:
Fazendo a mudança
, chega-se a
ou seja
Passo 5
Voltando a
pela relação
, temos
e portanto
Usando a condição inicial
(isto é, quando
temos
), obtemos
Passo 6
Substituindo
, a solução implícita final fica
ou, equivalentemente,
Resposta
A solução implícita que satisfaz
é
ou seja