Exercício 5 Considere uma função diferenciável
, entre intervalos
e
. Suponha que
é uma curva diferenciável.
(a) Mostre que a curva
, definida por
é diferenciável.
(b) Mostre que
Obs: aqui - indica o produto de vetor por escalar.
(a) Mostre que a curva
(b) Mostre que
Passo 1
Temos uma função diferenciável
e uma curva diferenciável
. Para mostrar a parte (a) e (b) precisamos usar a definição de diferenciabilidade em valor vetorial e a regra da cadeia para composições de funções reais e vetoriais.
Passo 2
Escrevendo
, cada
é diferenciável. Como
é diferenciável, cada composição
é diferenciável pela regra da cadeia em funções reais.
Como todas as componentes são diferenciáveis, o vetor
é diferenciável. Isso conclui a parte (a).
Como todas as componentes
Passo 3
Para a parte (b), aplicamos a regra da cadeia em cada componente:
Passo 4
Juntando as componentes, o vetor derivada fica
Resposta
A composição
é diferenciável e satisfaz a fórmula
.