Exercício 5 Considere uma função diferenciável f: I1 I2, entre intervalos I1 e I2. Suponha que gamma: I2 R^n é uma curva diferenciável.
(a) Mostre que a curva gamma circ I1 R^n, definida por
(gamma circ f)(t)=gamma(f(t))
é diferenciável.
(b) Mostre que
(gamma circ f)^prime(t)=gamma^prime(f(t)) cdot f^prime(t)
Obs: aqui - indica o produto de vetor por escalar.

Passo 1

Temos uma função diferenciável f: I1 to I2 e uma curva diferenciável gamma: I2 to R^n. Para mostrar a parte (a) e (b) precisamos usar a definição de diferenciabilidade em valor vetorial e a regra da cadeia para composições de funções reais e vetoriais.

Passo 2

Escrevendo gamma=(gamma1,dots,gamman), cada gammaj: I2toR é diferenciável. Como f: I1to I2 é diferenciável, cada composição gammajcirc f: I1toR é diferenciável pela regra da cadeia em funções reais.
Como todas as componentes gammajcirc f são diferenciáveis, o vetor gammacirc f=(gamma1circ f,dots,gammancirc f) é diferenciável. Isso conclui a parte (a).

Passo 3

Para a parte (b), aplicamos a regra da cadeia em cada componente:

Passo 4

Juntando as componentes, o vetor derivada fica

Resposta

A composição gammacirc f é diferenciável e satisfaz a fórmula (gammacirc f)'(t)=gamma'(f(t))cdot f'(t).

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