Exercício 3.4.2. Considere dez lançamentos independentes de um dado honesto.
Calcule a probabilidade de se obter face 5 em pelo menos cinco dos dez lançamentos.

Passo 1

O enunciado diz que fazemos dez lançamentos independentes de um dado honesto e queremos a probabilidade de que a face “5” apareça em pelo menos cinco desses lançamentos. O conteúdo aqui é distribuição binomial, pois cada lançamento é um ensaio de Bernoulli com sucesso “sair 5” e probabilidade de sucesso p=tfrac16.

Passo 2

Definimos a variável aleatória X como o número de vezes que sai face 5 em 10 lançamentos. Então
Xsim Binl(n=10,;p=tfrac16r),
isto é, para cada k=0,1,dots,10,
P(X=k)=binom10kl(tfrac16r)^kl(tfrac56r)^10-k

Passo 3

Queremos
P(X>= 5) =sumk=5^10P(X=k) =sumk=5^10binom10kl(tfrac16r)^kl(tfrac56r)^10-k

Passo 4

Escrevendo os termos separadamente,
P(X>=5) =sumk=5^10binom10k1^k,5^,10-k6^10 =16^10l[ binom1055^5+binom1065^4+cdots+binom10105^0r]

Passo 5

Calculando numericamente cada termo e somando, obtemos aproximadamente
P(X>=5)approx 0,01547

Resposta

P(X>=5)=sumk=5^10binom10kl(tfrac16r)^kl(tfrac56r)^10-kapprox0,01547

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