Uma lâmpada tem duração de acordo com a seguinte densidade de probabilidade:
f(x)=c 0,001 e^-0,001 x, para x>0 0, em caso contrário á
Determinar
a) A probabilidade de que uma lâmpada dure mais do que 1200 horas.
b) A probabilidade de que uma lâmpada dure menos do que sua duração média.
c) A duração mediana.
a) P(X>1200)=0,3012
b) P(X<1000)=0,6321
c) Md=693,15

Passo 1

O enunciado descreve a duração
Isso é uma distribuição exponencial com parâmetro ,
b) ,
c) a mediana de .

Passo 2

Primeiro, obtemos a função de distribuição acumulada (CDF) de X. Para x>0,
F(x)=P(X<= x)=integral0^x0,001,e^-0,001,t,dt
Calculando a integral:
F(x) =l[-e^-0,001,tr]0^x =1-e^-0,001,x

Passo 3

(a) A probabilidade de durar mais que 1200 horas é
P(X>1200)=1-F(1200)=e^-0,001cdot1200=e^-1,2approx0,3012

Passo 4

(b) A esperança da distribuição exponencial é
E[X]=1lambda=10,001=1000
Logo
P(X<E[X])=P(X<1000)=F(1000)=1-e^-0,001cdot1000=1-e^-1approx0,6321

Passo 5

(c) A mediana Md satisfaz F(Md)=0,5, ou seja
1-e^-0,001,Md=0,5 Longrightarrow e^-0,001,Md=0,5 Longrightarrow -0,001,Md=ln(0,5)
Md=-ln(0,5)0,001=ln20,001approx693,15 horas

Resposta

a) P(X>1200)=0,3012
b) P(X<1000)=0,6321
c) Mdapprox693,15 horas.

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