Exercício 4. Uma espira retangular de corrente está imersa em um campo magnético uniforme.
a) Defina o momento de dipolo magnético de uma espira de corrente. Como ele se relaciona com a área da espira e a corrente que a percorre?
b) Discuta como o torque resultante em uma espira de corrente em um campo magnético leva ao funcionamento de motores elétricos.
c) Uma espira retangular de 10 \mathrm{~cm} \times 5 \mathrm{~cm} transporta uma corrente de 2 A . A densidade de fluxo é \mathbf{B}=0.3 \mathbf{a}_{\mathbf{y}} \mathrm{T}. A espira está no plano x y e o lado de 10 cm está alinhado com o eixo x. Calcule o torque sobre a espira.
d) Determine a energia potencial magnética da espira do item (c) nesta configuração e também quando o seu momento de dipolo magnético está completamente alinhado com o campo magnético.

Passo 1

O enunciado trata de uma espira retangular de corrente em um campo magnético uniforme e pede:
– (a) definição do momento de dipolo magnético e sua relação com área e corrente;
– (b) como o torque numa espira leva ao funcionamento de motores elétricos;
– (c) cálculo do torque para uma espira de 10\:\text{cm}\times5\:\text{cm}, corrente de 2\:\mathrm{A} e \mathbf{B}=0,3\,\mathbf{a}_{y}\:\mathrm{T};
– (d) energia potencial magnética nessa posição e quando o dipolo está alinhado com \mathbf{B}.
Vamos usar as fórmulas
\mathbf{m}=I\,A\,\mathbf{\hat{n}},
\boldsymbol{\tau}=\mathbf{m}\times\mathbf{B},
U=-\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}.

Passo 2

O momento de dipolo magnético de uma espira é definido por
\mathbf{m}=I\,A\,\mathbf{\hat{n}},
onde I é a corrente, A é a área da espira e \mathbf{\hat{n}} é o vetor unitário perpendicular à superfície, orientado pelo sentido da regra da mão direita aplicado à corrente.

Passo 3

O torque resultante numa espira em campo magnético é
\boldsymbol{\tau}=\mathbf{m}\times\mathbf{B}.
Esse torque tende a girar a espira até que \mathbf{m} alinhe-se com \mathbf{B}. Em motores elétricos, usa-se uma bobina (ou várias espiras) montada em um eixo, juntamente com um comutador (ou inversor de corrente) que inverte o sentido de I toda vez que \mathbf{m} atravessa o alinhamento com \mathbf{B}, garantindo torque contínuo e rotação estável do eixo.

Passo 4

Para a espira retangular de lados a=0,10\:\mathrm{m} e b=0,05\:\mathrm{m} e I=2\:\mathrm{A}:
A área é
A=a\,b=0{,}10\cdot0{,}05=0{,}005\:\mathrm{m}^2.
O momento de dipolo (supondo corrente circulando de forma que \mathbf{\hat{n}}=+\mathbf{a}_z) é
\mathbf{m}=I\,A\,\mathbf{a}_z=2\cdot0{,}005\,\mathbf{a}_z=0{,}01\,\mathbf{a}_z\:\mathrm{A\cdot m}^2.
Como \mathbf{B}=0,3\,\mathbf{a}_y, o torque é
\boldsymbol{\tau}=\mathbf{m}\times\mathbf{B} =0{,}01\,\mathbf{a}_z\times0{,}3\,\mathbf{a}_y =0{,}003\;(\mathbf{a}_z\times\mathbf{a}_y).
Sabendo que \mathbf{a}_z\times\mathbf{a}_y=-\mathbf{a}_x, temos
\boldsymbol{\tau}=-0{,}003\,\mathbf{a}_x\:\mathrm{N\cdot m},
de magnitude \tau=3{,}0\times10^{-3}\:\mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

A energia potencial magnética de uma dipolo no campo \mathbf{B} é
U=-\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}.
  1. Na configuração dada, \mathbf{m}\parallel\mathbf{a}_z e \mathbf{B}\parallel\mathbf{a}_y, logo \mathbf{m}\cdot\mathbf{B}=0 e
U_{\text{inicial}}=0.
  1. Quando \mathbf{m} está completamente alinhado com \mathbf{B} (isto é, \mathbf{m}=0{,}01\,\mathbf{a}_y),
U_{\text{alinhado}}=-m\,B=-0{,}01\cdot0{,}3=-0{,}003\:\mathrm{J}.

Resposta

(a) \mathbf{m}=I\,A\,\mathbf{\hat{n}}, onde A é a área da espira e I a corrente.
(b) O torque \boldsymbol{\tau}=\mathbf{m}\times\mathbf{B} faz a espira tender a alinhar \mathbf{m} com \mathbf{B}; em motores, usa-se um comutador para inverter I e manter rotação contínua.
(c) \boldsymbol{\tau}=-0{,}003\,\mathbf{a}_x\:\mathrm{N\cdot m} (módulo 3,0\times10^{-3}\:\mathrm{N\cdot m}).
(d) U_{\text{inicial}}=0, \;U_{\text{alinhado}}=-0{,}003\:\mathrm{J}.

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