Exercício 5 Considere duas transformações lineares
e
tais que
.
(a) Mostre que se
então
(b) Mostre também que se
então
.
(a) Mostre que se
(b) Mostre também que se
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos duas transformações lineares
que comutam, isto é,
. O objetivo é mostrar que a subespaço núcleo de
e a imagem de
são estáveis por
.
Passo 2
Para (a), seja
. Então
. Usando a comutatividade, temos
Isso mostra que
.
Passo 3
Para (b), seja
. Então existe
tal que
. Aplicando
, obtemos
Logo
é da forma
, ou seja,
.
Resposta
Concluímos que sob a hipótese
, qualquer
satisfaz
e qualquer
satisfaz
.