Exercício 5 Considere duas transformações lineares T: V V e S: V V tais que T circ S=S circ T.
(a) Mostre que se v in ker(S) então T v in ker(S)
(b) Mostre também que se v in Im(S) então T v in Im(S).

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos duas transformações lineares T,S:Vto V que comutam, isto é, Tcirc S=Scirc T. O objetivo é mostrar que a subespaço núcleo de S e a imagem de S são estáveis por T.

Passo 2

Para (a), seja vinker(S). Então S(v)=0. Usando a comutatividade, temos
Sl(T(v)r)=(Scirc T)(v)=(Tcirc S)(v)=Tl(S(v)r)=T(0)=0
Isso mostra que T(v)inker(S).

Passo 3

Para (b), seja vinIm(S). Então existe uin V tal que v=S(u). Aplicando T, obtemos
T(v)=Tl(S(u)r)=(Tcirc S)(u)=(Scirc T)(u)=Sl(T(u)r)
Logo T(v) é da forma S(algo), ou seja, T(v)inIm(S).

Resposta

Concluímos que sob a hipótese Tcirc S=Scirc T, qualquer vinker(S) satisfaz T(v)inker(S) e qualquer vinIm(S) satisfaz T(v)inIm(S).

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