Exercício 6 Sejam T: V W e S: W U transformações lineares.
Mostre que ker T subset ker(S circ T). Mostre também que se S circ T é injetora então T também é injetora.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre duas transformações lineares em sequência: primeiro que o núcleo de T está contido no núcleo de Scirc T, e depois que a injetividade de Scirc T implica a injetividade de T. Vamos usar definição de núcleo e composição de aplicações lineares, além do fato de que uma transformação linear é injetora se, e somente se, seu núcleo é {0}.

Passo 2

Para provar que ker T subset ker(Scirc T), tomamos um vetor qualquer vinker T. Por definição de núcleo, T(v)=0W. Como S é linear, temos
(Scirc T)(v)=Sl(T(v)r)=S(0W)=0U
Isso mostra que v está em ker(Scirc T), e como v era arbitrário, concluímos a inclusão desejada.

Passo 3

Agora, suponha que Scirc T seja injetora. Sabemos que uma aplicação linear é injetora se, e somente se, seu núcleo é apenas o vetor zero. Logo,
ker(Scirc T)=0V
Como já mostramos que ker Tsubsetker(Scirc T), segue que
ker Tsubset0V,
ou seja, ker T=0V. Mas isso é exatamente a condição para que T seja injetora.

Passo 4

Portanto, concluímos que sempre ker Tsubsetker(Scirc T), e que se Scirc T for injetora, então T também deve ser injetora.

Resposta

ker Tsubsetker(Scirc T) e, se Scirc T é injetora, então T é injetora.

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