Exercício 6 Sejam
e
transformações lineares.
Mostre que
. Mostre também que se
é injetora então
também é injetora.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre duas transformações lineares em sequência: primeiro que o núcleo de
está contido no núcleo de
, e depois que a injetividade de
implica a injetividade de
. Vamos usar definição de núcleo e composição de aplicações lineares, além do fato de que uma transformação linear é injetora se, e somente se, seu núcleo é {0}.
Passo 2
Para provar que
, tomamos um vetor qualquer
. Por definição de núcleo,
. Como
é linear, temos
Isso mostra que
está em
, e como
era arbitrário, concluímos a inclusão desejada.
Passo 3
Agora, suponha que
seja injetora. Sabemos que uma aplicação linear é injetora se, e somente se, seu núcleo é apenas o vetor zero. Logo,
Como já mostramos que
, segue que
ou seja,
. Mas isso é exatamente a condição para que
seja injetora.
Passo 4
Portanto, concluímos que sempre
, e que se
for injetora, então
também deve ser injetora.