Exercício 3 Considere T: R^3 R^3 dada por
T(x, y, z)=(x+z, 2 x+2 y+z, x+y+z)
(a) Mostre que T é linear.
(b) Mostre que T é injetiva.
© Mostre que T é sobrejetiva.
(d) Encontre T^-1.

Passo 1

O exercício define a transformação linear T: R^3 to R^3 dada por
T(x,y,z) = (x+z,,2x+2y+z,,x+y+z)
O conteúdo envolve transformações lineares: vamos precisar da definição de linearidade, do núcleo para injetividade, e resolver sistemas lineares para sobrejetividade e inversa.

Passo 2

Para mostrar que T é linear, usamos a definição: para quaisquer (x1,y1,z1),(x2,y2,z2)inR^3 e escalar lambda, devemos ter
T((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2))=T(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
e
lambda,T(x1,y1,z1)=T(lambda x1,lambda y1,lambda z1)
Calculando os dois lados vemos que as componentes se somam e se escalam exatamente como em R^3, portanto T(u+v)=T(u)+T(v) e T(lambda u)=lambda T(u), logo T é linear.

Passo 3

Para injetividade, calculamos o núcleo:
T(x,y,z)=(0,0,0)
dá o sistema
x+z=0, 2x+2y+z=0, x+y+z=0
Da primeira equação z=-x. Substituindo na terceira: x+y-x=0 implica y=0. Na segunda: 2x+0- x=0 x=0. Logo (x,y,z)=(0,0,0) é única solução, então ker(T)=0 e T é injetiva.

Passo 4

Para sobrejetividade, dado um vetor arbitrário (a,b,c)inR^3, resolvemos
T(x,y,z)=(a,b,c)
isto é
x+z=a, 2x+2y+z=b, x+y+z=c
Da primeira equação z=a-x. Da terceira: x+y+(a-x)=c leva a y=c-a. Substituindo na segunda e na expressão de z, obtemos
x = a+b-2c,
de onde também y=c-a e z=2c-b. Como sempre achamos solução, T é sobrejetiva.

Passo 5

Para encontrar T^-1, usamos as expressões obtidas: se
T(x,y,z)=(a,b,c)
então
x=a+b-2c, y=c-a, z=2c-b
Logo a inversa é dada por
T^-1(a,b,c) = (a+b-2c,,c-a,,2c-b)

Passo 6

Observação: também poderíamos usar que um endomorfismo linear em R^3 injetivo tem posto 3, logo é bijetivo e admite inversa, mas resolver o sistema torna tudo explícito.

Resposta

T^{-1}(a,b,c) = (a + b - 2c,;c - a,;2c - b)

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