O exercício define a transformação linear dada por
O conteúdo envolve transformações lineares: vamos precisar da definição de linearidade, do núcleo para injetividade, e resolver sistemas lineares para sobrejetividade e inversa.
Passo 2
Para mostrar que é linear, usamos a definição: para quaisquer e escalar , devemos ter
e
Calculando os dois lados vemos que as componentes se somam e se escalam exatamente como em , portanto e , logo é linear.
Passo 3
Para injetividade, calculamos o núcleo:
dá o sistema
Da primeira equação z=-x. Substituindo na terceira: x+y-x=0 implica y=0. Na segunda: 2x+0- x=0 dá x=0. Logo (x,y,z)=(0,0,0) é única solução, então ker(T)=0 e T é injetiva.
Passo 4
Para sobrejetividade, dado um vetor arbitrário (a,b,c)inR^3, resolvemos
T(x,y,z)=(a,b,c)
isto é
x+z=a, 2x+2y+z=b, x+y+z=c
Da primeira equação z=a-x. Da terceira: x+y+(a-x)=c leva a y=c-a. Substituindo na segunda e na expressão de z, obtemos
x = a+b-2c,
de onde também y=c-a e z=2c-b. Como sempre achamos solução, T é sobrejetiva.
Passo 5
Para encontrar T^-1, usamos as expressões obtidas: se
T(x,y,z)=(a,b,c)
então
x=a+b-2c, y=c-a, z=2c-b
Logo a inversa é dada por
T^-1(a,b,c) = (a+b-2c,,c-a,,2c-b)
Passo 6
Observação: também poderíamos usar que um endomorfismo linear em R^3 injetivo tem posto 3, logo é bijetivo e admite inversa, mas resolver o sistema torna tudo explícito.