Exercício 4 Seja
uma base do espaço vetorial
. Considere a transformação linear
:
tal que
e
.
(a) Encontre
e
.
(b) Encontre uma base de
e de
.
(a) Encontre
(b) Encontre uma base de
Passo 1
Nesse exercício temos uma transformação linear T: V→V definida em relação à base {v₁,v₂,v₃} por T(v₁)=0, T(v₂)=v₁ e T(v₃)=v₂. O conteúdo envolvido é linearidade de transformações lineares, núcleo e imagem, e vamos usar a propriedade T(a u + b w) = a T(u) + b T(w).
Passo 2
Para calcular T(v₁+v₂) aplicamos linearidade:
T(v₁+v₂) = T(v₁) + T(v₂) = 0 + v₁ = v₁.
T(v₁+v₂) = T(v₁) + T(v₂) = 0 + v₁ = v₁.
Passo 3
Para calcular T(v₁+v₂+v₃) aplicamos linearidade de novo:
T(v₁+v₂+v₃) = T(v₁) + T(v₂) + T(v₃) = 0 + v₁ + v₂ = v₁ + v₂.
T(v₁+v₂+v₃) = T(v₁) + T(v₂) + T(v₃) = 0 + v₁ + v₂ = v₁ + v₂.
Passo 4
Para achar ker(T) consideramos um vetor genérico x = a v₁ + b v₂ + c v₃. Então
T(x) = a·0 + b·v₁ + c·v₂ = b v₁ + c v₂.
Para que x ∈ ker(T) precisamos de T(x)=0, logo b=0 e c=0, sem restrição em a. Assim ker(T)=span{v₁} e uma base é {v₁}.
T(x) = a·0 + b·v₁ + c·v₂ = b v₁ + c v₂.
Para que x ∈ ker(T) precisamos de T(x)=0, logo b=0 e c=0, sem restrição em a. Assim ker(T)=span{v₁} e uma base é {v₁}.
Passo 5
Para achar Im(T) basta olhar nas imagens dos vetores da base: T(v₁)=0, T(v₂)=v₁, T(v₃)=v₂. Logo
Im(T)=span{0, v₁, v₂} = span{v₁, v₂}.
Uma base de Im(T) é {v₁, v₂}.
Im(T)=span{0, v₁, v₂} = span{v₁, v₂}.
Uma base de Im(T) é {v₁, v₂}.
Resposta
(a) T(v₁+v₂) = v₁ e T(v₁+v₂+v₃) = v₁ + v₂.
(b) Base de ker(T): {v₁}. Base de Im(T): {v₁, v₂}.
(b) Base de ker(T): {v₁}. Base de Im(T): {v₁, v₂}.