Exercício 4 Seja V uma base do espaço vetorial T. Considere a transformação linear V V : ker(T) tal que Im(T) e .
(a) Encontre e .
(b) Encontre uma base de e de .

Passo 1

Nesse exercício temos uma transformação linear T: V→V definida em relação à base {v₁,v₂,v₃} por T(v₁)=0, T(v₂)=v₁ e T(v₃)=v₂. O conteúdo envolvido é linearidade de transformações lineares, núcleo e imagem, e vamos usar a propriedade T(a u + b w) = a T(u) + b T(w).

Passo 2

Para calcular T(v₁+v₂) aplicamos linearidade:
T(v₁+v₂) = T(v₁) + T(v₂) = 0 + v₁ = v₁.

Passo 3

Para calcular T(v₁+v₂+v₃) aplicamos linearidade de novo:
T(v₁+v₂+v₃) = T(v₁) + T(v₂) + T(v₃) = 0 + v₁ + v₂ = v₁ + v₂.

Passo 4

Para achar ker(T) consideramos um vetor genérico x = a v₁ + b v₂ + c v₃. Então
T(x) = a·0 + b·v₁ + c·v₂ = b v₁ + c v₂.
Para que x ∈ ker(T) precisamos de T(x)=0, logo b=0 e c=0, sem restrição em a. Assim ker(T)=span{v₁} e uma base é {v₁}.

Passo 5

Para achar Im(T) basta olhar nas imagens dos vetores da base: T(v₁)=0, T(v₂)=v₁, T(v₃)=v₂. Logo
Im(T)=span{0, v₁, v₂} = span{v₁, v₂}.
Uma base de Im(T) é {v₁, v₂}.

Resposta

(a) T(v₁+v₂) = v₁ e T(v₁+v₂+v₃) = v₁ + v₂.
(b) Base de ker(T): {v₁}. Base de Im(T): {v₁, v₂}.

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