Questão 7. Considere ccc1 & -1 & 1 -3 & 3 & -3 -4 & 4 & -4. Mostre que B é nilpotente, isto é, que B^n=0 para algum inteiro n >= 2.

Passo 1

Vamos mostrar que a matriz B é nilpotente, ou seja, existe n>=2 tal que B^n=0. Para isso, precisaremos usar a ideia de matrizes de posto 1 e fatoração do tipo u v^T.

Passo 2

Observe que cada linha de B é múltipla de (1,-1,1), o que indica que B tem posto 1. Podemos então escrever
$$
B

B = 1 & -1 & 1 -3 & 3 & -3 -4 & 4 & -4 = u,v^T,
= u,v^T,
u = 1 -3 -4, v^T = (1,,-1,,1)
u = ,
\quad
v^T = (1,,-1,,1).
$$

Passo 3

Como B = u v^T, ao calcular B^2 usamos a propriedade de produto de matrizes rank-1:
B^2 = (u v^T)(u v^T) = u,(v^T u),v^T

Passo 4

Agora precisamos apenas calcular o escalar v^T u:
v^T u = 1cdot1 + (-1)cdot(-3) + 1cdot(-4) = 1 + 3 - 4 = 0

Passo 5

Então
B^2 = u,(v^T u),v^T = ucdot0cdot v^T = 0

Passo 6

Concluímos que B^2 é a matriz nula, logo B é nilpotente de índice 2 e, portanto, B^n = 0 para todo n>=2.

Resposta

B^2 = 0, logo B é nilpotente e satisfaz B^n = 0 para todo n>=2.

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