Exercício 4 Considere o espaço vetorial V=R^2 e alpha=(1,3),(2,-4) uma base de V. Se
[I]beta^alpha=[cc -7 & 6 -11 & 8 ]
a) [1 ponto] Encontre a base beta.
b) [1,5 ponto] Encontre [I]alpha^beta.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V=R^2, a base alpha=(1,3),(2,-4) e o “caixa” de mudança de coordenadas
[I]beta^alpha = -7 & 6 -11 & 8 ,
que leva coordenadas em beta para coordenadas em alpha. Devemos (a) encontrar a base beta no sistema canônico e (b) calcular a matriz inversa [I]alpha^beta.

Passo 2

As colunas de [I]beta^alpha são as coordenadas dos vetores de beta=b1,b2 na base alpha. Ou seja,
[b1]alpha = -7-11, [b2]alpha = 68

Passo 3

Para obter b1 e b2 no sistema canônico, escrevemos cada combinação em termos de alpha1=(1,3) e alpha2=(2,-4):
b1 = -7,alpha1 + (-11),alpha2 = -7(1,3) + -11(2,-4) = (-7 -22,,-21 +44) = (-29,,23),
b2 = 6,alpha1 + 8,alpha2 = 6(1,3) + 8(2,-4) = (6+16,;18-32) = (22,,-14)
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beta = (-29,,23),;(22,,-14)

Passo 4

Para encontrar [I]alpha^beta , basta inverter a matriz [I]beta^alpha . O determinante é
det = (-7) cdot 8 - 6 cdot (-11) = -56 + 66 = 10
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[I]alpha^beta = l([I]beta^alphar)^-1 = 110 ;,8 & -6 11 & -7 = 45 & -35[6pt] 1110 & -710 ]

Resposta

(a) beta = (-29,,23),;(22,,-14) .
(b) [I]alpha^beta = 45 & -35[4pt] 1110 & -710 .]

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