Sejam matrizes quadradas e considere as afirmações a seguir. Marque V se for verdadeira e F se for falso
( ) det(A B)=det A det B
( ) Se A B=0 então A=0 ou B=0
( ) Se A=(ai j) é matriz 4 times 4 então no cálculo de det A o termo a13 a24 a31 a42 aparece com sinal negativo.
( ) Se A e B são matrizes inversíveis então A B é inversível e (A B)^-1=A^-1 B^-1.

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos quatro afirmações sobre matrizes quadradas, envolvendo determinantes, produto de matrizes e inversibilidade. Vamos usar:
– A propriedade de determinante de produto.
– Existência de divisores de zero na álgebra de matrizes.
– Regra de sinais na expansão do determinante (paridade de permutações).
– Regra de inversão de um produto de matrizes.

Passo 2

A propriedade clássica de determinantes diz que, para quaisquer matrizes quadradas A e B do mesmo tamanho, vale
det(AB)=det(A),det(B)
Portanto, a primeira afirmação é verdadeira.

Passo 3

Não vale que AB=0 implique A=0 ou B=0. Há contraexemplos, por exemplo, em 2times2:
A=1&00&0, B=0&00&1,
que são não nulas mas
AB=0&00&0
Logo, a segunda afirmação é falsa.

Passo 4

No termo a13,a24,a31,a42 a permutação associada é
sigma=(1;3)(2;4),
que é produto de duas transposições, logo par e de sinal +1. Portanto esse monômio aparece com sinal positivo, não negativo. A terceira afirmação é falsa.

Passo 5

Se A e B são inversíveis, então AB é inversível e a regra de inverso de produto é
(AB)^-1=B^-1A^-1,
não A^-1B^-1. Assim a quarta afirmação também é falsa.

Resposta

(V) (F) (F) (F)

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