Sejam matrizes quadradas e considere as afirmações a seguir. Marque
se for verdadeira e
se for falso
( )
( ) Se
então
ou
( ) Se
é matriz
então no cálculo de
o termo
aparece com sinal negativo.
( ) Se
e
são matrizes inversíveis então
é inversível e
.
( )
( ) Se
( ) Se
( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para analisarmos quatro afirmações sobre matrizes quadradas, envolvendo determinantes, produto de matrizes e inversibilidade. Vamos usar:
– A propriedade de determinante de produto.
– Existência de divisores de zero na álgebra de matrizes.
– Regra de sinais na expansão do determinante (paridade de permutações).
– Regra de inversão de um produto de matrizes.
– A propriedade de determinante de produto.
– Existência de divisores de zero na álgebra de matrizes.
– Regra de sinais na expansão do determinante (paridade de permutações).
– Regra de inversão de um produto de matrizes.
Passo 2
A propriedade clássica de determinantes diz que, para quaisquer matrizes quadradas
e
do mesmo tamanho, vale
Portanto, a primeira afirmação é verdadeira.
Passo 3
Não vale que
implique
ou
. Há contraexemplos, por exemplo, em
:
que são não nulas mas
Logo, a segunda afirmação é falsa.
Passo 4
No termo
a permutação associada é
que é produto de duas transposições, logo par e de sinal
. Portanto esse monômio aparece com sinal positivo, não negativo. A terceira afirmação é falsa.
Passo 5
Se
e
são inversíveis, então
é inversível e a regra de inverso de produto é
não
. Assim a quarta afirmação também é falsa.
Resposta
(V) (F) (F) (F)