Questão 2 (7 pontos). Sejam e B=(cccc1 & 0 & 0 & 0 1 & -1 & 0 & 0 -7 & 5 & 1 & 0 3 & 0 & 2 & 1).
(a) Sabendo que det(A)=3, calcule o valor de c.
(b) Calcule det(B^2024) e det(A^T cdot B^3 cdot A).
Passo 1
Beleza, a gente tem duas matrizes 4×4: A (dependendo de c) e B. Na parte (a) precisamos achar c sabendo que det(A)=3, então vamos usar desenvolvimento por cofactores. Na parte (b) usamos propriedades de determinantes – matriz triangular, produto e transposta – pra calcular det(B^2024) e det(A^T B^3 A).
Passo 2
Na parte (a), vamos desenvolver det(A) via expansão pela primeira coluna. Depois de calcular os quatro menores e somar os cofatores, chegamos em:
det(A) = 2c - 7
Passo 3
Igualando essa expressão a 3 para satisfazer det(A)=3, temos:
2c - 7 = 3,
2c = 10,
c = 5
Passo 4
Partindo pra parte (b), note que B é triangular inferior com diagonal (1, -1, 1, 1). Isso significa que det(B) é só o produto das diagonais e vale
det(B) = 1 cdot (-1) cdot 1 cdot 1 = -1
Passo 5
Logo:
det(B^2024) = det(B)^2024 = (-1)^2024 = 1
Passo 6
Pra det(A^T B^3 A), a gente usa que
det(A^T B^3 A) = det(A^T) det(B^3) det(A) = det(A)^2 det(B)^3