Exercício 0.6. Considere o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{3}.
a) Mostre que \alpha=\{(1,1,-1),(2,-1,0),(3,2,0)\} é uma base do \mathbb{R}^{3}.
b) Sabendo que [I]_{\beta}^{\alpha}=\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1\end{array}\right] determine a base \beta.
c) Determine [v]_{\beta} onde [v]_{\alpha}=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right] e [v]_{\alpha} onde [v]_{\beta}=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado trabalha mudança de base em V=\mathbb{R}^3.
a) Precisamos mostrar que \alpha=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\} com \alpha_1=(1,1,-1), \alpha_2=(2,-1,0), \alpha_3=(3,2,0) é uma base, ou seja, seus vetores são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^3.
b) Sabendo que
[I]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix},
as colunas dessa matriz são [b_j]_\alpha, as coordenadas dos vetores b_j da base \beta em relação a \alpha.
c) Usaremos a relação
[v]_\alpha \;=\;[I]_{\beta}^{\alpha}\,[v]_\beta
para passar de coordenadas em \beta para coordenadas em \alpha e vice-versa.

Passo 2

Mostramos que \alpha é base checando que o determinante da matriz cujas colunas são \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 é não nulo.
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 1 & -1 & 2\\\\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Calculemos \det A:
\det A = 1\cdot\begin{vmatrix}-1 & 2\\\ 0 & 0\end{vmatrix} -2\cdot\begin{vmatrix}1 & 2\\\ -1 & 0\end{vmatrix} +3\cdot\begin{vmatrix}1 & -1\\\ -1 & 0\end{vmatrix}.
\det A = 1\cdot(0-0) -2\cdot(1\cdot0 - 2\cdot(-1)) +3\cdot(1\cdot0 -(-1)\cdot(-1)) = -2\cdot(0+2) +3\cdot(0-1) = -4 -3 = -7\neq 0.
Como \det A\neq0, os vetores são linearmente independentes e formam base de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Para determinar \beta=\{b_1,b_2,b_3\}, usamos que a coluna j de [I]_{\beta}^{\alpha} é [b_j]_\alpha. Assim: [b_1]_\alpha = (1,0,1)^T
b_1 = 1\cdot\alpha_1 + 0\cdot\alpha_2 + 1\cdot\alpha_3 = (1,1,-1)+(3,2,0) = (4,3,-1). [b_2]_\alpha = (1,-1,0)^T
b_2 = 1\cdot\alpha_1 -1\cdot\alpha_2 + 0\cdot\alpha_3 = (1,1,-1)-(2,-1,0) = (-1,2,-1). [b_3]_\alpha = (0,1,-1)^T
b_3 = 0\cdot\alpha_1 +1\cdot\alpha_2 -1\cdot\alpha_3 = (2,-1,0)-(3,2,0) = (-1,-3,0).
Logo,
\beta = \{(4,3,-1),\,(-1,2,-1),\,(-1,-3,0)\}.

Passo 4

Para achar [v]_\beta\) sabendo \([v]_\alpha =(-1,2,3)^T\), resolvemos \[[I]_{\beta}^{\alpha}\,[v]_\beta = \begin{pmatrix}1&1&0\\\ 0&-1&1\\\ 1&0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}.
O sistema é \begin{cases} x_1 + x_2 = -1,\\\\ -\,x_2 + x_3 = 2,\\\ x_1 - x_3 = 3. \end{cases}\] Da primeira, \(x_1=-1-x_2. Da segunda, x_3=2+x_2. Substituindo na terceira:
(-1-x_2)-(2+x_2)=3 \;\Longrightarrow\;-3-2x_2=3 \;\Longrightarrow\;x_2=-3.
Então x_1=2 e x_3=-1. Portanto
[v]_\beta = \begin{pmatrix}2\\\ -3\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 5

Para achar [v]_\alpha quando [v]_\beta=(-1,2,3)^T, basta multiplicar:
[v]_\alpha = [I]_{\beta}^{\alpha}\,[v]_\beta = \begin{pmatrix}1&1&0\\\ 0&-1&1\\\ 1&0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot(-1)+1\cdot2+0\cdot3\\\\ 0\cdot(-1)-1\cdot2+1\cdot3\\\\ 1\cdot(-1)+0\cdot2-1\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -4\end{pmatrix}.

Resposta

a) \alpha é base pois \det\neq0.
b) \beta=\{(4,3,-1),\,(-1,2,-1),\,(-1,-3,0)\}.
c) Se [v]_\alpha=(-1,2,3)^T então [v]_\beta=(2,-3,-1)^T.
Se [v]_\beta=(-1,2,3)^T então [v]_\alpha=(1,1,-4)^T.

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