Exercício 0.6. Considere o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{3}.
a) Mostre que \alpha=\{(1,1,-1),(2,-1,0),(3,2,0)\} é uma base do \mathbb{R}^{3}.
b) Sabendo que [I]_{\beta}^{\alpha}=\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1\end{array}\right] determine a base \beta.
c) Determine [v]_{\beta} onde [v]_{\alpha}=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right] e [v]_{\alpha} onde [v]_{\beta}=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado trabalha mudança de base em V=\mathbb{R}^3.
a) Precisamos mostrar que \alpha=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\} com \alpha_1=(1,1,-1), \alpha_2=(2,-1,0), \alpha_3=(3,2,0) é uma base, ou seja, seus vetores são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^3.
b) Sabendo que
O sistema é \begin{cases}
x_1 + x_2 = -1,\\\\ -\,x_2 + x_3 = 2,\\\ x_1 - x_3 = 3.
\end{cases}\]
Da primeira, \(x_1=-1-x_2. Da segunda, x_3=2+x_2. Substituindo na terceira:
a) \alpha é base pois \det\neq0.
b) \beta=\{(4,3,-1),\,(-1,2,-1),\,(-1,-3,0)\}.
c) Se [v]_\alpha=(-1,2,3)^T então [v]_\beta=(2,-3,-1)^T.
Se [v]_\beta=(-1,2,3)^T então [v]_\alpha=(1,1,-4)^T.