Exercício 0.3. Mostre que \alpha=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 3 & 1\end{array}\right]\right\} é uma base para o espaço vetorial M_{2 \times 2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\alpha=\Bigl\{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\Bigr\} \subset M_{2\times2}(\mathbb{R}),
onde
A_{1}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix},\quad A_{2}=\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad A_{3}=\begin{pmatrix}0&-1\\\ 1&0\end{pmatrix},\quad A_{4}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 3&1\end{pmatrix},
é uma base de M_{2\times2}(\mathbb{R}).
Sabendo que \dim M_{2\times2}(\mathbb{R})=4, basta provar que esses quatro vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Considere a combinação linear nula
x_{1}A_{1}+x_{2}A_{2}+x_{3}A_{3}+x_{4}A_{4} =\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Vamos achar x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.

Passo 3

Somando as matrizes e igualando entrada a entrada, obtemos o sistema
\begin{cases} (1,1):&x_{1}+2x_{2}+x_{4}=0,\\\ (1,2):&-\,x_{3}=0,\\\ (2,1):&x_{3}+3x_{4}=0,\\\ (2,2):&x_{1}+x_{4}=0. \end{cases}

Passo 4

Do segundo equação vem x_{3}=0.
Da quarta equação vem x_{1}=-x_{4}.
Substituindo em (1,1): -x_{4}+2x_{2}+x_{4}=2x_{2}=0, logo x_{2}=0.
Na equação (2,1): 0+3x_{4}=0 resulta em x_{4}=0.
Daí x_{1}=-x_{4}=0.
Portanto a única solução é trivial x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=0.

Passo 5

Como temos quatro matrizes em um espaço de dimensão quatro e elas são linearmente independentes, concluímos que \alpha é uma base de M_{2\times2}(\mathbb{R}).

Resposta

\alpha é uma base de M_{2\times2}(\mathbb{R}).

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