é uma base de M_{2\times2}(\mathbb{R}).
Sabendo que \dim M_{2\times2}(\mathbb{R})=4, basta provar que esses quatro vetores são linearmente independentes.
Do segundo equação vem x_{3}=0.
Da quarta equação vem x_{1}=-x_{4}.
Substituindo em (1,1): -x_{4}+2x_{2}+x_{4}=2x_{2}=0, logo x_{2}=0.
Na equação (2,1): 0+3x_{4}=0 resulta em x_{4}=0.
Daí x_{1}=-x_{4}=0.
Portanto a única solução é trivial x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=0.
Passo 5
Como temos quatro matrizes em um espaço de dimensão quatro e elas são linearmente independentes, concluímos que \alpha é uma base de M_{2\times2}(\mathbb{R}).