Resolva as questões abaixo. Justifique suas respostas e boa prova.
1{ }^{\text {a }} QUESTÃO ( 3,0 pontos)
a) Defina subespaço vetorial, base e dimensão de espaço vetorial.
Considere o subconjunto W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+y=z+t\right\} \subset \mathbb{R}^{4}.
b) Mostre que W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}.
c) Determine uma base e a dimensão de W.
d) Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal de W.
e) Determine uma transformação linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \operatorname{com} \operatorname{Im}(T)=W. Determine a matriz que representa T com respeito à base canônica.
f) Determine um vetor de \mathbb{R}^{4} que seja ortogonal a todos os vetores de W.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre o subespaço
W = \{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x+y = z+t\}.
O conteúdo envolve definição de subespaço vetorial, base e dimensão de espaço vetorial, critérios para subespaço, escolha de parâmetros para encontrar base e dimensão, o processo de Gram–Schmidt para obter base ortogonal, construção de transformação linear com imagem igual a W e identificação de um vetor ortogonal a W.
Definições que vamos usar:
– Um subespaço vetorial de um espaço vetorial V é um subconjunto não vazio de V fechado sob soma e multiplicação escalar.
– Uma base de um espaço vetorial U é um conjunto de vetores de U que é linearmente independente e gera U.
– A dimensão de U é o número de vetores de qualquer base de U.

Passo 2

Para mostrar que W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^4:
  1. O vetor zero (0,0,0,0) está em W pois 0+0=0+0.
  2. Se \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1,t_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2,t_2) pertencem a W, então
x_1+y_1 = z_1+t_1,\quad x_2+y_2 = z_2+t_2.
Para \mathbf{u}+\mathbf{v} temos
(x_1+x_2)+(y_1+y_2) = (z_1+z_2)+(t_1+t_2),
logo \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
3. Para \lambda\in\mathbb{R},
\lambda x_1 + \lambda y_1 = \lambda(z_1+t_1),
então \lambda\mathbf{u}\in W.
Portanto W é subespaço de \mathbb{R}^4.

Passo 3

Para encontrar base e dimensão de W escrevemos a condição x+y=z+t como
x+y-z-t=0.
Escolhemos parâmetros livres a=x, b=y, c=z; então
t = x+y-z = a + b - c.
Assim
(x,y,z,t) = (a,b,c,a+b-c) = a\,(1,0,0,1) + b\,(0,1,0,1) + c\,(0,0,1,-1).
Logo uma base natural de W é
\{\,v_1=(1,0,0,1),\;v_2=(0,1,0,1),\;v_3=(0,0,1,-1)\},
e a dimensão de W é \dim W=3.

Passo 4

Aplicamos Gram–Schmidt ao conjunto \{v_1,v_2,v_3\} com produto interno canônico:
  1. u_1 = v_1 = (1,0,0,1).
\text{proj}_{u_1}(v_2) = \frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\,u_1 = \frac{1}{2}\,(1,0,0,1),
pois \langle v_2,u_1\rangle=1, \langle u_1,u_1\rangle=2.
Então
u_2 = v_2 - \text{proj}_{u_1}(v_2) = (0,1,0,1) - \tfrac12(1,0,0,1) = \bigl(-\tfrac12,1,0,\tfrac12\bigr).
\text{proj}_{u_1}(v_3) = \frac{\langle v_3,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1 = \frac{-1}{2}(1,0,0,1) = \bigl(-\tfrac12,0,0,-\tfrac12\bigr),
\text{proj}_{u_2}(v_3) = \frac{\langle v_3,u_2\rangle}{\langle u_2,u_2\rangle}\,u_2 = \frac{-\tfrac12}{3/2}\,u_2 = -\tfrac13\,u_2 = \bigl(\tfrac16,-\tfrac13,0,-\tfrac16\bigr).
Logo
u_3 = v_3 - \text{proj}_{u_1}(v_3) - \text{proj}_{u_2}(v_3) = \bigl(\tfrac13,\tfrac13,1,-\tfrac13\bigr).
O conjunto \{u_1,u_2,u_3\} é uma base ortogonal de W.

Passo 5

Definimos T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 por
T(x,y,z,t) = \bigl(x,\;y,\;z,\;x+y-z\bigr).
Logo \operatorname{Im}(T)=W pois em qualquer T(x,y,z,t) vale
\text{(1ª c.)} + \text{(2ª c.)} = x + y \quad\text{e}\quad \text{(3ª c.)} + \text{(4ª c.)} = z + (x+y-z) = x+y.ªªªª
Na base canônica \{e_1,e_2,e_3,e_4\}, as colunas da matriz de T são T(e_j):
T(e_1)=(1,0,0,1),\; T(e_2)=(0,1,0,1),\; T(e_3)=(0,0,1,-1),\; T(e_4)=(0,0,0,0).
Então a matriz de T é
[T] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 6

Uma forma de achar vetor ortogonal a todos de W é ler a equação que define W:
x+y-z-t=0.
O vetor normal a essa hiperplanície é
n = (1,1,-1,-1),
pois \langle n,(x,y,z,t)\rangle = x+y-z-t, zero para todo (x,y,z,t)\in W.

Resposta

a)
Um subespaço vetorial de V é um subconjunto não vazio fechado sob soma e multiplicação escalar.
Uma base de um espaço vetorial U é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera U.
A dimensão de U é o número de vetores de qualquer base de U.
b)
Mostramos que 0\in W, e que W é fechado sob soma e escalar, logo W é subespaço de \mathbb{R}^4.
c)
Uma base de W é
\{(1,0,0,1),\,(0,1,0,1),\,(0,0,1,-1)\}
e \dim W=3.
d)
Aplicando Gram–Schmidt obtemos a base ortogonal
\bigl\{(1,0,0,1),\,(-\tfrac12,1,0,\tfrac12),\,(\tfrac13,\tfrac13,1,-\tfrac13)\bigr\}.
e)
Definimos
T(x,y,z,t)=(x,y,z,x+y-z),
com \operatorname{Im}(T)=W. Na base canônica,
[T] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
f)
Um vetor ortogonal a todos de W é
(1,1,-1,-1).

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