Resolva as questões abaixo. Justifique suas respostas e boa prova. 1{ }^{\text {a }} QUESTÃO ( 3,0 pontos)
a) Defina subespaço vetorial, base e dimensão de espaço vetorial.
Considere o subconjunto W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+y=z+t\right\} \subset \mathbb{R}^{4}.
b) Mostre que W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}.
c) Determine uma base e a dimensão de W.
d) Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal de W.
e) Determine uma transformação linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \operatorname{com} \operatorname{Im}(T)=W. Determine a matriz que representa T com respeito à base canônica.
f) Determine um vetor de \mathbb{R}^{4} que seja ortogonal a todos os vetores de W.
Passo 1
O enunciado pede várias coisas sobre o subespaço
W = \{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x+y = z+t\}.
O conteúdo envolve definição de subespaço vetorial, base e dimensão de espaço vetorial, critérios para subespaço, escolha de parâmetros para encontrar base e dimensão, o processo de Gram–Schmidt para obter base ortogonal, construção de transformação linear com imagem igual a W e identificação de um vetor ortogonal a W.
Definições que vamos usar:
– Um subespaço vetorial de um espaço vetorial V é um subconjunto não vazio de V fechado sob soma e multiplicação escalar.
– Uma base de um espaço vetorial U é um conjunto de vetores de U que é linearmente independente e gera U.
– A dimensão de U é o número de vetores de qualquer base de U.
Passo 2
Para mostrar que W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^4:
O vetor zero (0,0,0,0) está em W pois 0+0=0+0.
Se \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1,t_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2,t_2) pertencem a W, então
x_1+y_1 = z_1+t_1,\quad x_2+y_2 = z_2+t_2.
Para \mathbf{u}+\mathbf{v} temos
(x_1+x_2)+(y_1+y_2) = (z_1+z_2)+(t_1+t_2),
logo \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
3. Para \lambda\in\mathbb{R},
\lambda x_1 + \lambda y_1 = \lambda(z_1+t_1),
então \lambda\mathbf{u}\in W.
Portanto W é subespaço de \mathbb{R}^4.
Passo 3
Para encontrar base e dimensão de W escrevemos a condição x+y=z+t como
Uma forma de achar vetor ortogonal a todos de W é ler a equação que define W:
x+y-z-t=0.
O vetor normal a essa hiperplanície é
n = (1,1,-1,-1),
pois \langle n,(x,y,z,t)\rangle = x+y-z-t, zero para todo (x,y,z,t)\in W.
Resposta
a)
Um subespaço vetorial de V é um subconjunto não vazio fechado sob soma e multiplicação escalar.
Uma base de um espaço vetorial U é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera U.
A dimensão de U é o número de vetores de qualquer base de U.
b)
Mostramos que 0\in W, e que W é fechado sob soma e escalar, logo W é subespaço de \mathbb{R}^4.
c)
Uma base de W é \{(1,0,0,1),\,(0,1,0,1),\,(0,0,1,-1)\}
e \dim W=3.
d)
Aplicando Gram–Schmidt obtemos a base ortogonal \bigl\{(1,0,0,1),\,(-\tfrac12,1,0,\tfrac12),\,(\tfrac13,\tfrac13,1,-\tfrac13)\bigr\}.