Exercício 1 Considere o espaço vetorial V=R^3. Verifique que:
W1=(x, y, z) in V ; x-3 z=0 é um subespa̧̧o vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o conjunto W1 = (x, y, z) in R^3 ; x - 3z = 0 é um subespaço vetorial do espaço V = R^3 . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de espaços vetoriais e subespaços. Precisamos verificar três coisas:
  1. Se o vetor zero está em W1 .
  2. Se W1 é fechado sob adição.
  3. Se W1 é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em W1 . O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0) . Substituindo na equação x - 3z = 0 :
0 - 3 times 0 = 0
Isso confirma que o vetor zero satisfaz a condição, então ele está em W1 .

Passo 3

Agora, vamos verificar se W1 é fechado sob adição. Ou seja, se tomarmos dois vetores qualquer de W1 , a soma deles também deve estar em W1 .
Sejam u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) pertencentes a W1 . Então:
x1 - 3z1 = 0 e x2 - 3z2 = 0
Vamos somar u e v :
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Agora, verificamos se x1 + x2 - 3(z1 + z2) = 0 :
(x1 - 3z1) + (x2 - 3z2) = 0 + 0 = 0
Então, a soma u + v também satisfaz a condição, estando em W1 .

Passo 4

Por último, vamos ver se W1 é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos um vetor de W1 por qualquer número real, o resultado também deve estar em W1 .
Seja u = (x, y, z) pertencente a W1 e c um escalar real. Então:
x - 3z = 0
Multiplicando por c :
c x - 3 c z = 0
Isso significa que o vetor cu = (c x, c y, c z) também satisfaz x - 3z = 0 , ou seja, está em W1 .

Resposta

Como o conjunto W1 contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que W1 é, de fato, um subespaço vetorial de R^3 .

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