Exercício 1 Considere o espaço vetorial
. Verifique que:
é um subespa̧̧o vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de espaços vetoriais e subespaços. Precisamos verificar três coisas:
- Se o vetor zero está em
. - Se
é fechado sob adição. - Se
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação
:
Isso confirma que o vetor zero satisfaz a condição, então ele está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se tomarmos dois vetores qualquer de
, a soma deles também deve estar em
.
Sejam
e
pertencentes a
. Então:
Vamos somar
e
:
Agora, verificamos se
:
Então, a soma
também satisfaz a condição, estando em
.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos um vetor de
por qualquer número real, o resultado também deve estar em
.
Seja
pertencente a
e
um escalar real. Então:
Multiplicando por
:
Isso significa que o vetor
também satisfaz
, ou seja, está em
.
Resposta
Como o conjunto
contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que
é, de fato, um subespaço vetorial de
.