Verifique se os vetores (0,2,-1),(0, 12,-12),(0, 32,-13) de V3(R) são linearmente independentes ou linearmente dependentes.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v1=(0,2,-1),
v2=l(0,tfrac12,-tfrac12r) e
v3=l(0,tfrac32,-tfrac13r)
em ,V3(R) e pede para verificar se são linearmente independentes ou não. O conteúdo é dependência linear: precisamos ver se existem escalares não todos nulos alpha,beta,gamma tais que
alpha,v1+beta,v2+gamma,v3=(0,0,0)

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e igualando componente a componente, obtemos as equações
2alpha + 12,beta + 32,gamma = 0
-alpha - 12,beta - 13,gamma = 0
(a primeira coordenada dá 0=0, que é trivial).

Passo 3

Para eliminar frações, multiplica-se a primeira equação por 2 e a segunda por 6, ficando
4alpha + beta + 3gamma = 0
-6alpha - 3beta - 2gamma = 0

Passo 4

Da primeira equação vem
beta = -,4alpha - 3gamma
Substituindo na segunda:
-6alpha -3(-4alpha -3gamma) -2gamma = 0 Longrightarrow 6alpha + 7gamma = 0 Longrightarrow alpha = -76,gamma
Há, portanto, solução não trivial (por exemplo gammaneq0), o que mostra que os vetores são linearmente dependentes.

Passo 5

Escolhendo gamma=6 alpha=-7 e beta=10, e de fato
-7,v1 ;+;10,v2;+;6,v3 ;=;(0,0,0)

Resposta

Os três vetores são linearmente dependentes.

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