Sejam P2(R) o espaço dos polinômios de grau 2 sobre R e considere [x, x^2-1] o subespaço gerado por x e x^2-1. Verifique se x^2-x+2 in[x, x^2-1].

Passo 1

O enunciado considera o espaço P2(R) dos polinômios de grau no máximo 2 e o subespaço gerado pelos vetores x e x^2-1. Queremos verificar se o polinômio
p(x) = x^2 - x + 2
pode ser escrito como combinação linear de x e x^2-1.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,binR tais que
a,x ;+; b,(x^2-1) ;=; x^2 - x + 2

Passo 3

Expandindo o lado esquerdo:
a,x + b,x^2 - b = b,x^2 + a,x - b
Para que isso seja igual a x^2-x+2, igualamos coeficientes de cada potência de x, obtendo o sistema
b = 1, a = -1, -,b = 2

Passo 4

Das duas primeiras equações vem b=1 e a=-1, mas a terceira exige -1=2, uma contradição. Logo não há a,b que satisfaçam a igualdade.

Resposta

O polinômio ,x^2-x+2 não pertence ao subespaço l[x,,x^2-1r].

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