Exercício 1 Considere o espaço vetorial
. Verifique que:
não é um subespaço vetorial.
Passo 1
Então, a gente tá trabalhando no espaço vetorial
e queremos verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial. Para que
seja um subespaço, ele precisa cumprir três condições principais:
- Conter o vetor zero: O vetor
precisa estar em . - Ser fechado sob adição: Se a gente pegar dois vetores em
e somar eles, o resultado também precisa estar em . - Ser fechado sob multiplicação por escalar: Se a gente multiplicar qualquer vetor de
por um escalar qualquer, o resultado também precisa estar em .
Vamos checar cada uma dessas condições para ver se
é mesmo um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero é
. A gente verifica as desigualdades:
Como todas as desigualdades são verdadeiras, o vetor zero está sim em
. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se a gente pegar dois vetores quaisquer em
e somar eles, o resultado também precisa estar em
.
Vamos supor que temos dois vetores em
:
Como
e
estão em
, temos que:
Vamos somar esses vetores:
Para que
esteja em
, precisamos que:
Esse resultado nem sempre é garantido. Por exemplo, se
,
,
e
,
,
, então:
Aqui, temos
mas
(a segunda desigualdade é igual, mas isso não viola a condição). Porém, se escolhermos outros vetores, podemos ter situações onde a desigualdade não se mantém. Portanto,
não é necessariamente fechado sob adição.
Passo 4
Mesmo que a segunda condição já possa falhar, vamos verificar a terceira condição para reforçar nossa conclusão: a fechamento sob multiplicação por escalar.
Vamos pegar um vetor qualquer em
, por exemplo,
, que claramente satisfaz
.
Agora, vamos multiplicar esse vetor por um escalar negativo, digamos
:
Agora, vamos verificar as desigualdades:
Veja que isso não é verdade, pois
não é menor ou igual a
. Portanto, ao multiplicar por um escalar negativo, o vetor resultante não está mais em
.
Resposta
Como vimos,
não é fechado sob adição nem sob multiplicação por escalar, então ele não é um subespaço vetorial de
.