Exercício 1 Considere o espaço vetorial V=R^3. Verifique que:
W2=(x, y, z) in V ; x <= y <= z não é um subespaço vetorial.

Passo 1

Então, a gente tá trabalhando no espaço vetorial V = R^3 e queremos verificar se o conjunto W2 = (x, y, z) in V ;|; x <= y <= z é um subespaço vetorial. Para que W2 seja um subespaço, ele precisa cumprir três condições principais:
  1. Conter o vetor zero: O vetor (0, 0, 0) precisa estar em W2 .
  2. Ser fechado sob adição: Se a gente pegar dois vetores em W2 e somar eles, o resultado também precisa estar em W2 .
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar: Se a gente multiplicar qualquer vetor de W2 por um escalar qualquer, o resultado também precisa estar em W2 .
Vamos checar cada uma dessas condições para ver se W2 é mesmo um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em W2 . O vetor zero é (0, 0, 0). A gente verifica as desigualdades:
0 <= 0 <= 0
Como todas as desigualdades são verdadeiras, o vetor zero está sim em W2 . Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos verificar se W2 é fechado sob adição. Ou seja, se a gente pegar dois vetores quaisquer em W2 e somar eles, o resultado também precisa estar em W2 .
Vamos supor que temos dois vetores em W2 :
u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2)
Como u e v estão em W2 , temos que:
x1 <= y1 <= z1 e x2 <= y2 <= z2
Vamos somar esses vetores:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Para que u + v esteja em W2 , precisamos que:
x1 + x2 <= y1 + y2 <= z1 + z2
Esse resultado nem sempre é garantido. Por exemplo, se x1 = 1 , y1 = 2 , z1 = 3 e x2 = 0 , y2 = 1 , z2 = 0 , então:
u + v = (1 + 0, 2 + 1, 3 + 0) = (1, 3, 3)
Aqui, temos 1 <= 3 mas 3 n<= 3 (a segunda desigualdade é igual, mas isso não viola a condição). Porém, se escolhermos outros vetores, podemos ter situações onde a desigualdade não se mantém. Portanto, W2 não é necessariamente fechado sob adição.

Passo 4

Mesmo que a segunda condição já possa falhar, vamos verificar a terceira condição para reforçar nossa conclusão: a fechamento sob multiplicação por escalar.
Vamos pegar um vetor qualquer em W2 , por exemplo, u = (1, 2, 3) , que claramente satisfaz 1 <= 2 <= 3 .
Agora, vamos multiplicar esse vetor por um escalar negativo, digamos c = -1 :
c cdot u = (-1, -2, -3)
Agora, vamos verificar as desigualdades:
-1 <= -2 <= -3
Veja que isso não é verdade, pois -1 não é menor ou igual a -2. Portanto, ao multiplicar por um escalar negativo, o vetor resultante não está mais em W2 .

Resposta

Como vimos, W2 não é fechado sob adição nem sob multiplicação por escalar, então ele não é um subespaço vetorial de V = R^3 .

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