Exercício 1 Considere o espaço vetorial V=R^3. Verifique que:
W3=(x, y, z) in V: x=z^2 não é um subespaço vetorial.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício: temos o espaço vetorial V = R^3 e queremos verificar se o conjunto W3 = (x, y, z) in V : x = z^2 é um subespaço vetorial. Isso envolve entender o que são subespaços vetoriais e os critérios que precisam ser atendidos para algo ser considerado um subespaço. Vamos precisar lembrar dos três principais critérios: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em W3 . O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0) . Substituindo na condição x = z^2 , temos 0 = 0^2 , que é verdadeiro. Então, o vetor zero está em W3 .

Passo 3

Agora, vamos ver se W3 é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em W3 , a soma deles também deve estar em W3 .
Suponha que temos dois vetores u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) em W3 . Então, x1 = z1^2 e x2 = z2^2 .
A soma desses vetores é u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) .
Para que u + v esteja em W3 , precisamos que x1 + x2 = (z1 + z2)^2 .
Vamos verificar se isso é sempre verdadeiro:
x1 + x2 = z1^2 + z2^2
(z1 + z2)^2 = z1^2 + 2z1z2 + z2^2
Comparando os dois, temos que z1^2 + z2^2 não é igual a z1^2 + 2z1z2 + z2^2 a menos que z1z2 = 0 , o que nem sempre acontece. Portanto, W3 não é fechado sob adição.

Passo 4

Já que W3 não é fechado sob adição, não precisamos verificar a multiplicação por escalar. Basta que um dos critérios falhe para afirmar que não é um subespaço vetorial.

Resposta

O conjunto W3 = (x, y, z) in R^3 : x = z^2 não é um subespaço vetorial de R^3 porque não é fechado sob adição.

Exercícios relacionados