Exercício 1 Considere o espaço vetorial
. Verifique que:
não é um subespaço vetorial.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício: temos o espaço vetorial
e queremos verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial. Isso envolve entender o que são subespaços vetoriais e os critérios que precisam ser atendidos para algo ser considerado um subespaço. Vamos precisar lembrar dos três principais critérios: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição
, temos
, que é verdadeiro. Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Suponha que temos dois vetores
e
em
. Então,
e
.
A soma desses vetores é
.
Para que
esteja em
, precisamos que
.
Vamos verificar se isso é sempre verdadeiro:
Comparando os dois, temos que
não é igual a
a menos que
, o que nem sempre acontece. Portanto,
não é fechado sob adição.
Passo 4
Já que
não é fechado sob adição, não precisamos verificar a multiplicação por escalar. Basta que um dos critérios falhe para afirmar que não é um subespaço vetorial.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
porque não é fechado sob adição.