Exercício 8. Utilizando diferentes caminhos de aproximação da origem, mostre que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) não existe quando:
f(x, y)=\frac{x^{2} y}{x^{4}+3 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe, onde a função dada é
f(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^{4}+3y^{2}}.
Informações relevantes fornecidas: a função explícita f(x,y) e o ponto de interesse (0,0). A tarefa é provar que o limite não existe, isto é, que ao aproximar (x,y) da origem por diferentes caminhos obtém-se valores limites distintos.

Passo 2

Entendendo a ideia usada para provar que um limite em duas variáveis não existe: para que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L exista, o valor de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0) deve tender ao mesmo número L por qualquer caminho que leve à origem. Portanto, uma maneira prática de mostrar que o limite não existe é encontrar dois caminhos que chegam à origem e que produzem limites diferentes. Vou buscar caminhos que deixem termos do numerador e denominador na mesma ordem de grandeza para obter um quociente não trivial — isto sugere tentar caminhos onde y tem ordem parecida com x^{2}, porque o denominador contém x^{4} e y^{2}.

Passo 3

Escolho caminhos do tipo y=m x^{2}, com m constante real. Primeiro verifico que esse caminho realmente aproxima a origem: quando x\to0 temos y=m x^{2}\to0, logo (x,y)\to(0,0).
Substituo y=m x^{2} em f:
f(x,m x^{2})=\frac{x^{2}\cdot(m x^{2})}{x^{4}+3(m x^{2})^{2}}.
Agora simplifico passo a passo:
\text{numerador} = x^{2}\cdot m x^{2}=m x^{4},
\text{denominador} = x^{4}+3 m^{2} x^{4}=x^{4}(1+3 m^{2}).
Portanto
f(x,m x^{2})=\frac{m x^{4}}{x^{4}(1+3 m^{2})}=\frac{m}{1+3 m^{2}},
sempre que x\neq0. Observe que essa expressão não depende de x (desde que x\neq0), então ao fazer x\to0 o valor permanece igual.

Passo 4

Concluo que, ao aproximar pela parábola y=m x^{2},
\lim_{x\to0} f(x,m x^{2})=\frac{m}{1+3 m^{2}}.
Assim o limite ao longo desse caminho depende do parâmetro m. Para mostrar que o limite total não existe, basta escolher dois valores de m que deem resultados diferentes.

Passo 5

Escolho m=0 e m=1 como exemplos simples.
  • Para m=0 (ou seja, o caminho y=0, o eixo x):
\frac{m}{1+3 m^{2}}=\frac{0}{1+0}=0.
  • Para m=1 (ou seja, o caminho y=x^{2}):
\frac{m}{1+3 m^{2}}=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}.
Como 0\neq \tfrac{1}{4}, os limites ao longo desses dois caminhos são diferentes.

Passo 6

Argumento final: se \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existisse e valesse algum L, então o limite ao longo de qualquer caminho teria que ser L. Mas acabamos de mostrar dois caminhos que levam à origem e cujo limite de f é distinto ( 0 e \tfrac{1}{4}). Logo, a hipótese de existência de um limite único é falsa.

Resposta

O limite não existe.

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