Exercício 8. Utilizando diferentes caminhos de aproximação da origem, mostre que
não existe quando:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
não existe, onde a função dada é
Informações relevantes fornecidas: a função explícita
e o ponto de interesse
. A tarefa é provar que o limite não existe, isto é, que ao aproximar
da origem por diferentes caminhos obtém-se valores limites distintos.
Passo 2
Entendendo a ideia usada para provar que um limite em duas variáveis não existe: para que
exista, o valor de
quando
se aproxima de
deve tender ao mesmo número
por qualquer caminho que leve à origem. Portanto, uma maneira prática de mostrar que o limite não existe é encontrar dois caminhos que chegam à origem e que produzem limites diferentes. Vou buscar caminhos que deixem termos do numerador e denominador na mesma ordem de grandeza para obter um quociente não trivial — isto sugere tentar caminhos onde
tem ordem parecida com
, porque o denominador contém
e
.
Passo 3
Escolho caminhos do tipo
, com
constante real. Primeiro verifico que esse caminho realmente aproxima a origem: quando
temos
, logo
.
Substituo
em
:
Agora simplifico passo a passo:
Portanto
sempre que
. Observe que essa expressão não depende de
(desde que
), então ao fazer
o valor permanece igual.
Passo 4
Concluo que, ao aproximar pela parábola
,
Assim o limite ao longo desse caminho depende do parâmetro
. Para mostrar que o limite total não existe, basta escolher dois valores de
que deem resultados diferentes.
Passo 5
Escolho
e
como exemplos simples.
- Para
(ou seja, o caminho , o eixo ):
- Para
(ou seja, o caminho ):
Como
, os limites ao longo desses dois caminhos são diferentes.
Passo 6
Argumento final: se
existisse e valesse algum
, então o limite ao longo de qualquer caminho teria que ser
. Mas acabamos de mostrar dois caminhos que levam à origem e cujo limite de
é distinto (
e
). Logo, a hipótese de existência de um limite único é falsa.
Resposta
O limite não existe.