Exercício 5-Considere uma função dada por f(x)=(x-3)(x+4)(x+2)(x^2+4 x-5). Determine:
  1. Domínio de f
  2. f(0)
  3. Valores de x tais que f(x)=0
  4. O sinal da função f

Passo 1

O enunciado dá a função racional
f(x)=(x-3)(x+4)(x+2)l(x^2+4x-5r)
e pede: o domínio, f(0), as raízes de f e o sinal de f. Para resolver, vamos fatorar o denominador, identificar valores proibidos, avaliar em x=0, achar onde o numerador se anula e montar um quadro de sinais.

Passo 2

Para achar o domínio, exigimos que o denominador seja diferente de zero. Primeiro fatoramos
x^2+4x-5 = (x+5)(x-1)
Então o denominador é (x+2)(x+5)(x-1), que se anula em x=-2, x=-5 e x=1. Logo o domínio é
xinRmid xneq -5,,-2,,1

Passo 3

Para calcular f(0) basta substituir x=0:
f(0)=(0-3)(0+4)(0+2)l(0^2+4cdot0-5r) =-3cdot42cdot(-5) =-12-10 =65

Passo 4

As raízes de f são as soluções de (x-3)(x+4)=0, desde que não anulem o denominador. Temos
x-3=0implies x=3, x+4=0implies x=-4
Nem -4 nem 3 estão em -5,-2,1, então as raízes são x=-4 e x=3.

Passo 5

Para decidir o sinal de f(x), listamos os zeros do numerador e as raízes do denominador em ordem crescente:
-,infty,;-5,;-4,;-2,;1,;3,,+infty
Cada fator muda de sinal ao passar por sua raiz:
  1. (x-3) muda em 3.
  2. (x+4) muda em -4.
  3. (x+2) muda em -2.
  4. (x+5) muda em -5.
  5. (x-1) muda em 1.
Montamos o quadro de sinais (com “ +” ou “ -” para cada intervalo) e concluímos:
f(x)<0 em l(-infty,-5r), l(-4,-2r) e l(1,3r).
f(x)>0 em l(-5,-4r), l(-2,1r) e l(3,inftyr).

Resposta

(1) xinRmid xneq -5,,-2,,1
(2) f(0)=tfrac65
(3) x=-4 e x=3
(4)
f(x)<0 em l(-infty,-5r)cupl(-4,-2r)cupl(1,3r);\
f(x)>0 em l(-5,-4r)cupl(-2,1r)cupl(3,inftyr).

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