Exercício 6 Considere uma função f: R^2 R diferenciável num ponto f. O plano tangente ao gráfico de (x, y, z) in R^3 no ponto z-f(x0, y0)=(x-x0) partial fpartial x(x0, y0)+(y-y0) partial fpartial y(x0, y0) é o conjunto dos pontos f tais que
(x, y, z)=(x0, y0, f(x0 y0))+lambda(partial fpartial x(x0, y0), partial fpartial y(x0, y0),-1), lambda in R
Por outro lado, a reta normal ao gráfico de f(x, y)=3 x^2 y-x no ponto (1,2, f(1,2)) é dada por
Obtenha o plano tangente e a reta normal ao gráfico da função no ponto .

Passo 1

Nós temos a função f(x,y)=3x^2y - x e queremos encontrar o plano tangente e a reta normal ao gráfico de f no ponto (1,2,f(1,2)). A teoria diz que o plano tangente em (x0,y0,f(x0,y0)) é dado por:
z - f(x0,y0) = (x - x0) partial fpartial x(x0,y0) + (y - y0) partial fpartial y(x0,y0)
e que a reta normal é dada por:
(x,y,z) = (x0,y0,f(x0,y0)) + lambdal(partial fpartial x(x0,y0),partial fpartial y(x0,y0),-1r), lambdainR
Aqui tomamos (x0,y0)=(1,2).

Passo 2

Vamos calcular primeiro f(1,2) e as derivadas parciais de f. Temos:
f(1,2)=3cdot1^2cdot2 - 1 = 5
e
partial fpartial x(x,y)=6xy - 1, partial fpartial y(x,y)=3x^2
No ponto (1,2) isso dá:
partial fpartial x(1,2)=11, partial fpartial y(1,2)=3

Passo 3

Agora montamos o plano tangente substituindo os valores em sua fórmula:
z - f(1,2) = (x - 1)partial fpartial x(1,2) + (y - 2)partial fpartial y(1,2)
Substituindo f(1,2)=5, partial fpartial x(1,2)=11 e partial fpartial y(1,2)=3 obtemos:
z - 5 = 11(x - 1) + 3(y - 2)
Se preferir, distribuímos para isolar z:
z = 11x + 3y - 12

Passo 4

Por fim, montamos a reta normal usando sua forma paramétrica:
(x,y,z) = (1,2,5) + lambda(11,3,-1), lambdainR
Isso define a reta normal ao gráfico de f no ponto dado.

Resposta

Plano tangente:
z - 5 = 11(x - 1) + 3(y - 2) .
Simplificado:
z = 11x + 3y - 12 .
Reta normal:
(x,y,z) = (1,2,5) + lambda(11,3,-1), lambdainR .

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