Exercício 6 Considere uma função
diferenciável num ponto
. O plano tangente ao gráfico de
no ponto
é o conjunto dos pontos
tais que
Por outro lado, a reta normal ao gráfico de
no ponto
é dada por
Obtenha o plano tangente e a reta normal ao gráfico da função
no ponto
.
Passo 1
Nós temos a função
e queremos encontrar o plano tangente e a reta normal ao gráfico de
no ponto
. A teoria diz que o plano tangente em
é dado por:
e que a reta normal é dada por:
Aqui tomamos
.
Passo 2
Vamos calcular primeiro
e as derivadas parciais de
. Temos:
e
No ponto
isso dá:
Passo 3
Agora montamos o plano tangente substituindo os valores em sua fórmula:
Substituindo
Se preferir, distribuímos para isolar
:
Passo 4
Por fim, montamos a reta normal usando sua forma paramétrica:
Isso define a reta normal ao gráfico de
Resposta
Plano tangente:
Simplificado:
Reta normal: