Exercício 3 Determine os pontos nos quais as funções abaixo são diferenciáveis.
f(x, y)=lsen(x^2+y^2)x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0), 1, caso contrário á

Passo 1

A questão pede pra gente descobrir onde a função
f(x,y)= sin(x^2+y^2)x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0) 1,&(x,y)=(0,0)
é diferenciável. O conteúdo envolvido é diferenciabilidade em várias variáveis: vamos usar que, em pontos onde a expressão é composta por funções suaves sem divisão por zero, já temos diferenciabilidade automática, e só precisamos checar o ponto crítico (0,0).

Passo 2

Em qualquer ponto (x,y)neq(0,0), a função é composta de x^2+y^2, da função seno e da divisão por uma quantidade não nula. Como soma, produto, seno e recíproco de funções suaves são suaves, concluímos que f é diferenciável em todo (x,y)neq(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0), primeiro mostramos que f é contínua: se fizermos r=raizx^2+y^2, então
f(x,y)=sin(r^2)r^2
Como para tto0 vale sin t= t - t^3/6+o(t^4), temos
sin(r^2)r^2=1-(r^2)^26+o(r^4)=1-r^46+o(r^4),
logo f(x,y)to1=f(0,0) quando (x,y)to(0,0).

Passo 4

Ainda em (0,0), calculamos as derivadas parciais:
f(h,0)-f(0,0)h=sin(h^2)h^2-1h=-h^36+o(h^3)to0,
e análogo em y. Logo fx(0,0)=fy(0,0)=0.

Passo 5

Por fim, aplicamos a definição de diferenciabilidade em várias variáveis: devemos ver que
f(x,y)-f(0,0)-l(fx(0,0)x+fy(0,0)yr)=f(x,y)-1=o(raizx^2+y^2)
Como mostramos que f(x,y)-1=O(r^4), temos
|f(x,y)-1|raizx^2+y^2=O(r^3)to0
quando rto0. Isso garante a diferenciabilidade em (0,0).

Resposta

A função f é diferenciável em todos os pontos de R^2.

Exercícios relacionados