Exercício 3 Determine os pontos nos quais as funções abaixo são diferenciáveis.
Passo 1
A questão pede pra gente descobrir onde a função
é diferenciável. O conteúdo envolvido é diferenciabilidade em várias variáveis: vamos usar que, em pontos onde a expressão é composta por funções suaves sem divisão por zero, já temos diferenciabilidade automática, e só precisamos checar o ponto crítico (0,0).
Passo 2
Em qualquer ponto
, a função é composta de
, da função seno e da divisão por uma quantidade não nula. Como soma, produto, seno e recíproco de funções suaves são suaves, concluímos que
é diferenciável em todo
.
Passo 3
No ponto
, primeiro mostramos que
é contínua: se fizermos
, então
Como para
vale
, temos
logo
quando
.
Passo 4
Ainda em
, calculamos as derivadas parciais:
e análogo em
. Logo
.
Passo 5
Por fim, aplicamos a definição de diferenciabilidade em várias variáveis: devemos ver que
Como mostramos que
, temos
quando
. Isso garante a diferenciabilidade em
.
Resposta
A função f é diferenciável em todos os pontos de
.